AMC 10 · 2005 · #23

학년 11 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

logarithm-propertiesexponentsprobability-basicfloor-function convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesexponentsprobability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

2의 거듭제곱 처음 스물다섯 개 중 서로 다른 두 수를 무작위로 고른다. 하나를 밑으로 한 다른 하나의 로그가 정수일 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{25}$

(B)

$\frac{31}{300}$

(C)

$\frac{13}{100}$

(D)

$\frac{7}{50}$

(E)

$\frac{1}{2}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

집합의 모든 수가 2의 거듭제곱이므로, 지수에 이름을 붙이면 거대한 25개의 수가 1부터 25까지의 평범한 목록으로 바뀐다. 밑이 같은 두 거듭제곱 사이의 로그는 지수의 비일 뿐이므로, 확률 문제 전체가 작은 수에 대한 배수 세기 문제가 되고 표 하나로 정리된다. 같은 개수를 다른 방식으로 한 번 더 세어 합계를 검산한다.

1STEP 1

지수에 이름 붙이기

모든 수가 거듭제곱이라 문제는 사실 지수에 관한 것이다.

a = 2^x, b = 2^y, x, y ∈ {1, 2, …, 25}, x ≠ y

2STEP 2

로그를 식으로 바꾸기

로그가 그 지수들 사이의 방정식이 된다.

(2^x)^z = 2^y ⟹ 2^xz = 2^y ⟹ xz = y

3STEP 3

나누어떨어짐으로 읽기

그것은 작은 정수들 사이의 단순한 배수 관계로 읽힌다.

z = y/x가 정수 ⇔ x ∣ y

4STEP 4

각 x마다 배수 세기

각 밑마다 배수를 세고 자기 자신을 빼면 짧은 표가 된다.

#{ y : x ∣ y, 1 ≤ y ≤ 25, y ≠ x } = ⌊ 25/x ⌋ - 1

5STEP 5

표 더하기

표를 더하면 유리한 순서쌍이 62개다.

Σ_x=1¹²(⌊ 25/x ⌋ - 1) = 24 + 11 + 7 + 5 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 62

6STEP 6

전체 경우 세기

순서를 고려한 전체는 600이다.

25 · 24 = 600

7STEP 7

나누고 약분하기

약분하면 31/300, 보기 (B).

P = 62/600 = 31/300

정답

31/300

조건을 만족하는 쌍을 반대쪽에서 다시 세어 본다. 각 x가 배수를 몇 개 가지는지 묻는 대신, 각 y가 약수를 몇 개 가지는지 묻는 것이다. x = y를 허용할 때 1 이상 25 이하이면서 x ∣ y인 순서쌍 (x, y)의 개수는 약수의 개수 d(y)의 합 Σ_y=1²⁵ d(y)이고, 그 값은 1+2+2+3+2+4+2+4+3+4+2+6+2+4+4+5+2+6+2+6+4+4+2+8+3 = 87이다. 여기서 x = y인 25개를 빼면 87 - 25 = 62로 표의 결과와 정확히 일치한다. 크기도 타당하다. 31/300 ≈ 0.103으로 대략 열 쌍에 한 쌍인데, 62개 중 24개가 이미 a = 2 하나에서 나온다는 사실과 잘 맞는다. 마지막으로, a와 b에 각각 이름이 붙고 log_a b와 log_b a가 다르므로 순서를 구별해 세는 해석이 옳다.

💡핵심 정리

눈앞의 모든 수가 같은 수의 거듭제곱이라면, 수를 보지 말고 지수를 봐라.

지수에 이름 붙이기
로그를 식으로 바꾸기
나누어떨어짐으로 읽기
각 x마다 배수 세기
표 더하기
전체 경우 세기
나누고 약분하기