AMC 10 · 2006 · #5

학년 6 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Constant-Rate Closing Speed

ratelinear-equations-one-varunit-conversion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: rate

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

두 사람이 같은 방향으로 시속 3킬로미터와 5킬로미터로 걷고, 빠른 쪽이 1킬로미터 뒤에서 출발한다. 빠른 쪽이 상대의 출발 지점에 닿기까지 몇 분이 걸리는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

120

풀이 과정

전략 변수 도입하기

두 사람이 동시에 움직이므로 각자를 따로 좇으면 누가 어디 있는지 헷갈리기 쉽다. 흐른 시간을 문자 하나로 이름 붙이고, 각자의 위치를 그 문자로 된 식으로 쓴 다음, 두 식을 빼서 간격을 구한다. 이 문제가 정말로 묻는 양은 바로 그 간격이다. 따라잡는다는 것은 간격이 0이 된다는 뜻이기 때문이다. 말을 간격 하나의 식으로 바꾸면 두 속력을 왜 빼도 되는지가 눈에 보이고, 속력은 시간당인데 답은 분 단위로 요구되므로 마지막에 단위를 반드시 확인하게 된다.

1STEP 1

두 사람을 한 직선 위에 놓기

둘 다 같은 방향이고 빠른 쪽이 뒤에서 출발한다.

gap now = 1 mile, 5 ＞ 3 (same direction)

2STEP 2

시간에 이름 붙이고 위치 쓰기

시간에 이름을 붙이면 두 위치를 쓴다.

B(t) = 5t, J(t) = 1 + 3t

3STEP 3

사람이 아니라 간격을 좇기

각자를 좇는 것보다 간격을 좇는 것이 간단하다.

g(t) = J(t) - B(t) = (1 + 3t) - 5t = 1 - 2t

4STEP 4

간격이 정말 0이 되는지 확인하기

간격이 속력의 차만큼 줄어들어 실제로 닫힌다.

g(0) = 1 ＞ 0, slope = -(5-3) = -2 ＜ 0

5STEP 5

간격을 0으로 놓고 풀기

간격을 0으로 놓으면 반 시간이다.

1 - 2t = 0 → 2t = 1 → t = 1/2

6STEP 6

시간을 분으로 바꾸기

단위를 바꾸면 30분, 보기 (D).

t = 1/2 hour × (60 minutes)/(1 hour) = 30 minutes

정답

구한 시간을 원래 그림에 다시 넣어 본다. 반 시간 동안 Bob은 5 x 0.5 = 2.5마일, John은 3 x 0.5 = 1.5마일을 걷는다. Bob의 출발 지점에서 재면 Bob은 2.5, John은 1 + 1.5 = 2.5로 같은 지점이므로 30분이 맞고 (A)와 일치한다. 두 번째 확인은 풀지 않고 범위를 잡는 것이다. John이 가만히 서 있었다면 Bob은 1마일을 시속 5마일로 가면 되어 12분이 걸리고, John이 앞으로 걸어가면 시간은 더 길어질 수밖에 없다. 따라서 12분 미만인 답은 불가능하며 30분은 그 위에 자연스럽게 놓인다. 오답 선택지들은 간격이 잘못된 비율로 줄어드는 경우에 해당한다. 120분은 간격이 시속 0.5마일로 줄어드는 경우, 60분은 시속 1마일로 줄어드는 경우지만, 실제 줄어드는 비율은 5 - 3 = 2이다.

💡핵심 정리

같은 직선 위에서 두 사람이 같은 방향으로 움직일 때는 사람이 아니라 간격을 보라. 여기서 간격은 매시간 5 - 3 = 2마일씩 줄어들므로 1마일 간격은 반 시간이면 사라진다.

두 사람을 한 직선 위에 놓기
시간에 이름 붙이고 위치 쓰기
사람이 아니라 간격을 좇기
간격이 정말 0이 되는지 확인하기
간격을 0으로 놓고 풀기
시간을 분으로 바꾸기