AMC 10 · 2005 · #8
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
1000가지 숫자 조합을 손으로 다 살펴보는 것은 불가능하다. 그러나 이 식은 두 정수의 곱이고 2005의 약수는 매우 적다. 그러므로 2005의 약수를 모두 나열하고, 숫자가 가질 수 있는 최댓값으로 각 인수의 상한을 정한 뒤, 상한을 넘는 조합을 모두 지운다. 살아남는 조합이 하나뿐이라면 숫자들이 강제로 결정되며, 이는 우연히 맞는 조합 하나를 제시하는 것보다 훨씬 강한 결론이다.
두 인수에 이름 붙이기
두 인수 모두 정수이므로 각각 곱의 약수다.
두 덩어리에 이름을 붙이면 숫자 퍼즐이 수 하나를 인수분해하는 단순한 문제로 바뀐다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2005를 완전히 인수분해하기
완전히 인수분해하면 약수가 넷뿐이다.
소인수가 두 개뿐인 수는 약수도 네 개뿐이므로, 살펴볼 범위 전체가 네 개짜리 목록이 된다.
2005는 소수 두 개로만 이루어져 있어 약수가 넷뿐이므로, 찾을 범위 전체가 네 값 너비다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 그 조리법을 적는 순간 약수가 정해진다.
▸ 왜?
약수는 곱해서 그 수가 되는 짝으로 오므로, 한쪽 인수를 정하면 다른 쪽도 정해진다.
숫자 제한으로 각 인수의 상한 정하기
숫자를 최대로 하면 두 인수의 상한은 999와 27이다.
가장 극단적인 숫자를 넣어 보면 단단한 천장이 생기고, 그 천장이 가능성의 가지 전체를 한 번에 잘라 낸다.
6.EE.B.8Extreme Principle불가능한 조합 모두 지우기
두 상한을 모두 통과하는 조합은 하나뿐이다.
짧은 목록 두 개가 만드는 조합은 여섯 개뿐이고, 여섯 개를 모두 확인하면 살아남는 것은 단 하나이다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities401에서 숫자 되읽기
자릿값으로 숫자를 되읽으면 맨 앞은 4, 보기 (D).
자릿값은 양방향으로 작동한다. 수가 정해지면 그 자리 숫자들도 함께 정해진다.
4.NBT.A.2Work Backwards두 정수의 곱이 정해져 있으면 먼저 그 수의 약수를 나열하라. 각 인수의 크기 제한이 대개 하나만 남겨 준다.
- 두 인수에 이름 붙이기
- 2005를 완전히 인수분해하기
- 숫자 제한으로 각 인수의 상한 정하기
- 불가능한 조합 모두 지우기
- 401에서 숫자 되읽기