AMC 10 · 2005 · #12

학년 8 algebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Chained Ratio Linking

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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 이차식의 근이 다른 이차식 근의 정확히 두 배이고, 두 식이 계수를 사슬처럼 공유한다. 세 계수 중 어느 것도 0이 아니다. 그중 두 계수의 비를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

근이 두 이차식을 잇는 숨은 연결 고리이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 근을 r, s라 이름 붙입니다. 근 r,s로 만들어진 이차식은 (x-r)(x-s)=x²-(r+s)x+rs로 인수분해되므로, 각 계수는 근의 합 또는 곱일 뿐입니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 '근의 두 배'를 계수 비교를 통해 방정식으로 바꿉니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)으로 작업을 두 갈래로 깔끔하게 나눕니다: 근의 합이 말해 주는 것과, 따로 근의 곱이 말해 주는 것. 각 갈래가 연결 하나씩(m=2p와 n=4m)을 주고, 이를 이어 붙이면 n/p가 나옵니다.

1STEP 1

첫 번째 이차식의 근에 이름 붙이기

인수분해한 꼴을 전개하면 근이 계수와 이어진다.

(x-r)(x-s)=x²-(r+s)x+rs → r+s=-p, rs=m

2STEP 2

두 번째 이차식의 근에 이름 붙이기

두 배가 된 근이 두 번째 관계 쌍을 주고 하나에는 4배가 붙는다.

2r+2s=-m, (2r)(2s)=4rs=n

3STEP 3

공유하는 근으로 두 식을 잇기

공유된 근이 두 무리 사이의 다리가 된다.

-m=2(r+s)=-2p → m=2p; n=4rs=4m

4STEP 4

연결을 이어 n/p 구하기

연결을 이으면 비는 8, 보기 (D).

n=4m=4(2p)=8p → n/p=8 → (D)

정답

개별 근 r,s는 최종 답에 전혀 나타나지 않으므로, 비 n/p=8은 유효한 어떤 이차식 쌍에 대해서도 성립해야 합니다 — 대수 계산이 깔끔하다는 좋은 신호입니다. 구체적 예로 확인해 봅시다: p=8로 두면 m=2p=16, n=8p=64입니다. 첫 번째 이차식은 x²+8x+16=(x+4)²로 -4에서 중근을 가집니다. 그 근을 두 배로 하면 -8,-8이고, (x+8)²=x²+16x+64는 실제로 m=16, n=64인 x²+mx+n과 같습니다. 그리고 n/p=64/8=8로 (D)와 일치합니다. 함정 선택지 (E) 16은 (합에서 한 번, 곱에서 또 한 번) 두 번 두 배를 한 데서 나오며, 선택지 (C) 4는 m=2p에 숨은 2배를 잊은 데서 나옵니다.

💡핵심 정리

이차식의 계수는 그 근의 합과 곱이 변장한 모습일 뿐이므로, 근에 이름을 붙이면 '근의 두 배'가 이어 붙일 수 있는 간단한 방정식으로 바뀝니다.

첫 번째 이차식의 근에 이름 붙이기
두 번째 이차식의 근에 이름 붙이기
공유하는 근으로 두 식을 잇기
연결을 이어 n/p 구하기

첫 번째 이차식의 근에 이름 붙이기

두 번째 이차식의 근에 이름 붙이기

공유하는 근으로 두 식을 잇기

연결을 이어 n/p 구하기

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