AMC 10 · 2005 · #15

학년 8 number-theory
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known
place-valuedigit-sumdivisibility-rulesdigit-decomposition convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: place-valuedigit-decompositiondivisibility-rules
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
두 자리 수 네 개의 합이 221이고, 여덟 개의 숫자가 모두 다르며 0은 없다. 따라서 0이 아닌 숫자 중 정확히 하나가 빠진다. 등장할 수 없는 숫자를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
(E)
5
풀이 과정
전략 변수 도입하기

네 수를 직접 찾으려 하면 경우의 수가 수천 개다. 대신 합이 실제로 의존하는 값은 두 개뿐임에 주목하자. 십의 자리 숫자 네 개의 합과 일의 자리 숫자 네 개의 합이다. 이를 T와 U로 놓는다. 숫자 조건에서 T+U에 대한 두 번째 식이 나오고, 두 식을 합치면 빠진 숫자를 정확히 못 박는 배수 조건 하나만 남는다. 마지막으로 실제 예를 하나 만들어 종이 위의 가능성이 아니라 실재함을 확인한다.

1STEP 1

빠진 숫자에 이름 붙이기

빠진 숫자에 이름을 붙이면 쓰인 숫자의 합이 45 빼기 그것이 된다.

1+2+…+9=45, (여덟 숫자의 합)=45-d
2STEP 2

자릿값으로 합을 쪼개기

자릿값으로 나누면 두 번째 정확한 방정식이 나온다.

10T+U=221
3STEP 3

두 사실을 합치기

합치면 두 미지수 사이의 깔끔한 관계 하나가 남는다.

10T+(45-d-T)=221 ⟹ 9T=176+d
4STEP 4

맞는 숫자는 하나뿐

나누어떨어짐 제한이 그 숫자를 4로 강제한다.

9 ∣ 176+d, 176=9 · 19+5, 6 ≤ 5+d ≤ 14 ⟹ 5+d=9 ⟹ d=4
5STEP 5

실제로 가능함을 보이기

구체적인 예가 실제로 가능함을 보이므로 답은 4, 보기 (D).

13+25+86+97=221, {1,3,2,5,8,6,9,7}={1,…,9}∖{4}
정답
4
예를 손으로 검산하자. 13+25=38, 38+86=124, 124+97=221이다. 맞고, 숫자 1,3,2,5,8,6,9,7은 서로 다른 0 아닌 여덟 숫자이며 4가 빠져 있다. 나머지 네 선택지가 불가능함도 배수 조건에서 바로 나온다. 빠진 숫자가 1,2,3,5라면 176+d는 각각 177,178,179,181인데 어느 것도 9로 나누어떨어지지 않으므로 9T=176+d를 만족하는 정수 T가 없다.
💡핵심 정리

숫자가 이리저리 섞일 때는 네 개의 수를 쫓지 말고 두 개의 합을 쫓자. 십의 자리 숫자들의 합과 일의 자리 숫자들의 합이다.

  • 빠진 숫자에 이름 붙이기
  • 자릿값으로 합을 쪼개기
  • 두 사실을 합치기
  • 맞는 숫자는 하나뿐
  • 실제로 가능함을 보이기

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