AMC 10 · 2005 · #17

학년 11 algebranumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

logarithm-propertiesprime-factorizationexponents convert-to-algebraeasier-related-problem ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesprime-factorizationfraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

네 유리수가 네 소수의 로그에 가중치로 붙어 그 합이 정확히 2005이다. 그런 네 쌍이 몇 개인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

2004

(E)

infinitely many

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

로그의 합은 그대로 다루기 어렵다. 그래서 양변을 지수로 올려 지수에 대한 대수 문제로 바꾼다(도구 #13). 그러면 식은 2^a3^b5^c7^d = 10²⁰⁰⁵가 된다. 하지만 지수가 유리수인 상태로는 소인수분해의 유일성을 쓸 수 없다. 유일성은 정수 지수끼리만 비교할 수 있기 때문이다. 그래서 공통분모 N 을 도입해(도구 #4) 양변을 N 제곱하고, 정수만 다루는 더 쉬운 문제로 줄인다(도구 #9). 마지막으로 양변을 소인수분해 형태로 다시 정리하면(도구 #15) 비교가 강제된다. 절대 건너뛰면 안 되는 곳은 오히려 가장 뻔해 보이는 곳이다. "오른쪽에 3이 없으니 b=0"은 공짜로 얻는 사실이 아니라 증명해야 할 주장 자체이며, 지수가 정수가 된 뒤에야 정당해진다.

1STEP 1

계수를 지수로 올리기

각 계수가 지수로 올라간다.

alog₁₀₂ + blog₁₀₃ + clog₁₀₅ + dlog₁₀₇ = log₁₀₂^a + log₁₀₃^b + log₁₀₅^c + log₁₀₇^d

2STEP 2

하나의 거듭제곱 식으로 합치기

합이 하나의 거듭제곱 식으로 접힌다.

2^a · 3^b · 5^c · 7^d = 10²⁰⁰⁵ = 2²⁰⁰⁵ · 5²⁰⁰⁵

3STEP 3

분모 없애기

공통 분모를 쓰면 모든 지수가 정수가 된다.

(2^a3^b5^c7^d)^N = 2^A · 3^B · 5^C · 7^D = 2²005N · 5²005N

4STEP 4

한쪽으로 몰기

한쪽으로 몰면 곱이 1과 같아진다.

2^A' · 3^B · 5^C' · 7^D = 1, A' = A-2005N, C' = C-2005N

5STEP 5

소인수분해를 맞춰 보기

겹치지 않는 소수들이 모든 지수를 0으로 강제한다.

A' = B = C' = D = 0

6STEP 6

네 쌍 읽어내기

그래서 네 쌍 전체가 강제되고 어디에도 자유가 없다.

a = 2005, b = 0, c = 2005, d = 0

7STEP 7

확인하고 개수 세기

확인되므로 그런 쌍은 정확히 1개다, 보기 (B).

2005log₁₀₂ + 0 + 2005log₁₀₅ + 0 = 2005(log₁₀₂+log₁₀₅) = 2005log₁₀₁₀ = 2005

정답

두 가지를 따로 확인했다. 하나는 (2005,0,2005,0)이 log₁₀₂+log₁₀₅ = 1을 이용한 직접 대입으로 식을 만족한다는 것이고, 다른 하나는 소인수분해 논증으로 그 밖의 쌍은 있을 수 없다는 것이다. 둘 다 필요하다. 성립하는 쌍 하나만 보였다면 (E)가 열려 있고, 유일성만 보였다면 (A)가 열려 있다. 선택지 17과 2004는 나올 근거 자체가 없다. 일차식 하나의 해집합은 공집합이거나 한 점이거나 무한집합이지, 크기가 17 인 유한집합이 될 수는 없다.

💡핵심 정리

미지수가 넷인 식 하나면 보통 해가 끝없이 많지만, 소수는 고집이 세다. 2, 3, 5, 7은 서로를 흉내 낼 수 없어서 살아남는 쌍은 단 하나뿐이다.

계수를 지수로 올리기
하나의 거듭제곱 식으로 합치기
분모 없애기
한쪽으로 몰기
소인수분해를 맞춰 보기
네 쌍 읽어내기
확인하고 개수 세기