AMC 10 · 2005 · #19
학년 8 arithmetic difference-of-squaresdigit-decompositionperfect-squares convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: difference-of-squaresperfect-squaresdigit-decomposition
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
어떤 두 자리 수와 그것을 뒤집은 수의 제곱의 차가 완전제곱수다. 두 수와 그 제곱근의 합을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
88
(B)
112
(C)
116
(D)
144
(E)
154
풀이 과정
전략 변수 도입하기
두 자리 숫자에 이름을 붙이면 뒤집은 수가 식이 됩니다. 자리 바꿈을 대수로 바꾸면 깔끔한 인수분해가 드러나고, 이어서 배수 조건이 숫자를 단 하나로 좁혀 줍니다.
1STEP 1
숫자에 이름 붙이기
자릿수에 이름을 붙이면 두 수를 한 쌍의 미지수로 쓴다.
x = 10a + b, y = 10b + a
각 자리 숫자에 문자를 붙이면 자리 바꿈을 다루기 쉬워진다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
제곱의 차 인수분해하기
제곱의 차가 깔끔한 두 배수로 인수분해된다.
x² - y² = (x-y)(x+y) = 9(a-b) · 11(a+b) = 99(a-b)(a+b)
제곱의 차를 두 인수로 바꾸면 숨어 있던 9와 11이 드러난다.
두 제곱의 차를 곱으로 다시 쓰면 숨어 있던 9와 11이라는 인수가 드러난다.
▸ 왜?
두 제곱의 차는 두 수의 합에 두 수의 차를 곱한 것이다.
제곱의 차는 인수분해된다같은 두 수의 합과 차를 곱하면 가운데 항이 지워지고 첫 제곱에서 둘째 제곱을 뺀 것만 남는다.
▸ 왜?
완전제곱수는 조리법 속 모든 소수를 짝수 번 써야 하므로, 홀로 남은 11은 짝을 찾아야 한다.
소인수분해의 유일성1보다 큰 모든 정수는 (순서를 제외하면) 오직 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 나타난다.
3STEP 3
완전제곱수가 되게 만들기
홀수 소인수가 두 번 나와야 해 자릿수의 합이 11로 강제된다.
99(a-b)(a+b) = 3² · 11·(a-b)(a+b) → a+b = 11
완전제곱수는 각 소인수가 짝을 이뤄야 하므로 외톨이 11이 짝을 찾아야 한다.
8.EE.A.2Eliminate Possibilities4STEP 4
숫자 확정하기
그러면 차도 제곱수여야 해 자릿수가 6과 5로 정해진다.
1089(a-b)=m²; a+b=11, a-b=1 → a=6, b=5
1089에 완전제곱수를 곱해야 제곱수가 유지되고, 홀짝을 따지면 두 숫자의 차는 하나로 정해진다.
8.EE.C.8Eliminate Possibilities5STEP 5
x, y, m 더하기
모두 더하면 154, 보기 (E).
x=65, y=56, m=√(1089)=33 → 65+56+33 = 154
숫자가 정해지고 나면 세 수를 그대로 더해 합을 얻는다.
8.EE.A.2Convert To Algebra정답
154
직접 확인하자: 65² - 56² = 4225 - 3136 = 1089 = 33²로 진짜 완전제곱수이므로 m = 33이 성립한다. 숫자 6과 5는 유효하고, 65 + 56 + 33 = 154는 보기 (E)와 일치한다.
💡핵심 정리
두 자리 수를 10a + b로 쓰면, 뒤집은 수의 제곱의 차는 언제나 99 곱하기 (a - b)(a + b)가 된다 -- 그러면 소수들이 어떤 숫자가 맞는지 알려 준다.
- 숫자에 이름 붙이기
- 제곱의 차 인수분해하기
- 완전제곱수가 되게 만들기
- 숫자 확정하기
- x, y, m 더하기