AMC 10 · 2005 · #2
학년 8 arithmetic percentagequadratic-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentagequadratic-equations
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 양수가 자기 자신의 그 퍼센트가 4라는 조건을 만족한다. 그 수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
2
(B)
4
(C)
10
(D)
20
(E)
40
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기
"x%의 x가 4이다"라는 문장은 방정식 하나를 숨기고 있는 말이므로, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 x/100 · x = 4로 옮겨 x를 구한다. 핵심 열쇠는 도구 #8(단위 살펴보기)이다. "퍼센트"는 "백분의"라는 뜻이라 x%=x/100이 되고, 이렇게 하면 x%를 그냥 x로 잘못 읽는 흔한 실수를 막는다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 뒷받침이다 — 보기가 주어져 있으므로 구한 값을 보기와 대조할 수 있고, x%의 x가 4가 되는 값은 20뿐이다.
1STEP 1
백분율을 분수로 바꾸기
퍼센트는 백분의라는 뜻이라 그 표현이 분수가 된다.
x% of x = x/100 · x
퍼센트는 100을 분모로 하는 분수일 뿐이고, "의"는 곱하기를 뜻한다.
6.RP.A.3Analyze The Units2STEP 2
방정식 세우기
미지수가 두 번 나와 단순한 제곱이 된다.
x/100 · x = 4 ⟹ x²/100 = 4
말을 방정식 하나로 바꾸면 미지수를 곧바로 구할 수 있다.
6.EE.B.6Convert To Algebra3STEP 3
분모 없애기
분모를 없애면 400이 된다.
x²/100 = 4 ⟹ x² = 400
방정식은 한쪽에 한 일을 다른 쪽에도 똑같이 해야 균형이 유지된다.
6.EE.B.7Convert To Algebra4STEP 4
양의 제곱근 취하기
양의 근만 허용되어 20, 보기 (D).
x² = 400 ⟹ x = √(400) = 20 → (D)
제곱은 제곱근으로 되돌리고, "양수"라는 조건이 양의 근을 고른다.
제곱근을 구하는 것이 제곱을 되돌리며, 양수라는 말이 두 근 가운데 어느 쪽인지를 골라 준다.
▸ 왜?
퍼센트는 100분의 몇이므로, 그 말이 미지수 하나짜리 방정식 하나로 바뀐다.
퍼센트는 100분의 목p%는 100 중 p를 뜻하므로, 어떤 양의 p%는 그 양의 (p/100)배이다.
▸ 왜?
거듭제곱근은 거듭제곱을 정확히 되돌리므로, 그것을 쓰면 제곱되기 전의 수가 되살아난다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
정답
20
답을 문장에 바로 대입해 확인하자. 20의 20%는 0.2×20=4로 정확히 맞는다. 다른 보기는 어긋난다 — 예를 들어 40의 40%는 16(너무 큼), 10의 10%는 1(너무 작음)이다. x가 커질수록 "자기 자신의 x%" 값이 커지므로 이 값들이 답을 위아래로 감싼다. 흔한 함정은 "x%의 x"를 그냥 x=4로 읽어 (B)를 고르는 것인데, 이는 결과를 줄이는 "퍼센트"와 "의"를 모두 무시한 것이다.
💡핵심 정리
"퍼센트"는 "100 중의"라는 뜻이고 "의"는 곱하기이므로 "x%의 x"는 x²/100이다 — 이것을 4와 같다고 놓고 양의 제곱근을 취하면 x=20이다.
- 백분율을 분수로 바꾸기
- 방정식 세우기
- 분모 없애기
- 양의 제곱근 취하기