AMC 10 · 2006 · #11

학년 8 geometry-2d
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coordinate-geometrypolynomial-factoring convert-to-algebra ↑ 선수 지식: polynomial-factoring
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 방정식이 합의 제곱을 제곱의 합과 같다고 놓는다. 그 그래프가 어떤 모양인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
the empty set
(B)
one point
(C)
two lines
(D)
a circle
(E)
the entire plane
풀이 과정
전략 다르게 정리하기

방정식이 복잡해 보이지만, 도구 #15 (다르게 정리하기)는 이미 아는 형태로 다시 쓰라고 말한다. 제곱된 쪽을 전개하고 겹치는 항을 없애면 전체가 xy = 0 이라는 아주 작은 식으로 바뀌고, 이 그래프는 이름 붙이기 쉽다. 그다음 도구 #3 (가능성 지우기)은 객관식 구조를 이용한다: 그래프가 무한히 뻗는다는 것을 알면 원과 한 점은 제외되고, 점 하나를 대입해 보면 공집합과 전체 평면도 지워진다. 도구 #1 (그림 그리기)은 남은 것이 익숙한 두 직선임을 확인해 준다. 방정식을 다시 쓰는 순간 어려움이 녹아 없어진다.

1STEP 1

제곱된 쪽 전개하기

전개하면 양변의 같은 항이 맞춰진다.

(x+y)² = x² + 2xy + y² → x² + 2xy + y² = x² + y²
2STEP 2

지우고 간단히 하기

이차항이 모두 상쇄되고 교차항만 남는다.

x² + 2xy + y² = x² + y² → 2xy = 0 → xy = 0
3STEP 3

곱이 0인 성질 쓰기

곱이 0인 것은 인수가 0일 때뿐이다.

xy = 0 ⇔ x = 0 또는 y = 0
4STEP 4

그래프 읽어내기

각 인수가 축이므로 그래프는 두 직선, 보기 (C).

x = 0 (y축) 그리고 y = 0 (x축) → 두 직선 → (C)
정답
두 직선
원래 방정식에 몇 개의 점을 대입해 본다. (2, 0) 에서: 왼쪽 (2+0)² = 4, 오른쪽 2² + 0² = 4 — 같고, 이 점은 x 축 위에 있다. (0, 3) 에서: 왼쪽 9, 오른쪽 9 — 같고 y 축 위에 있다. 축 밖의 점 (1, 1) 에서: 왼쪽 (1+1)² = 4, 오른쪽 1 + 1 = 2 — 같지 않으므로 올바르게 제외된다. 점들은 축 위에 있을 때에만 성립하므로 그래프는 두 축이다: 무한히 뻗으므로 원(보기 D)도 아니고 한 점(보기 B)도 아니다. 어떤 점은 성립하므로 공집합(보기 A)이 아니고, (1,1)은 실패하므로 전체 평면(보기 E)도 아니다. 두 직선인 보기 (C)만 들어맞는다.
💡핵심 정리

제곱을 전개해 겹치는 부분을 지우면 방정식 전체가 xy = 0으로 줄어든다 — 곱은 인수 하나가 0일 때만 0이므로 그래프는 두 축 직선이다.

  • 제곱된 쪽 전개하기
  • 지우고 간단히 하기
  • 곱이 0인 성질 쓰기
  • 그래프 읽어내기

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