AMC 10 · 2005 · #20

학년 9 algebra

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known

optimizationcompleting-the-squareparityset-partition caseworkextreme-principlesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: quadratic-equationsparityset-partition

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

주어진 여덟 개의 수를 네 개씩 두 묶음으로 나눈다. 두 묶음 합의 제곱의 합이 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

두 묶음의 합은 서로 독립이 아니다. 언제나 집합 전체의 합으로 더해지기 때문이다. 그래서 그중 하나를 s 라고 이름 붙이면(도구 #4) 변수 두 개짜리 최소화 문제가 변수 하나짜리 이차식으로 바뀌고, 완전제곱을 만들 수 있다. 그러면 문제는 경계에 대한 질문(도구 #14) 하나로 줄어든다. 묶음의 합이 균형점에 얼마나 가까이 갈 수 있는가? 이 질문에 정직하게 답하려면 완벽한 균형이 불가능함을 증명해야 하고, 그러기 위해 두 수의 합을 홀짝으로 정리해 빠짐없이 나열하고(도구 #2) 모든 경우를 지운다(도구 #3). 점수가 좋은 분할 하나를 찾은 것만으로는 최소임이 증명되지 않는다. 답을 확실하게 만드는 것은 불가능성 쪽 절반이다.

1STEP 1

문자들이 모든 수를 쓴다

두 합은 언제나 고정된 수가 된다.

-7-5-3-2+2+4+6+13 = 8

2STEP 2

변수 하나로 줄이기

그래서 식이 하나의 미지수에만 달려 있다.

(a+b+c+d)²+(e+f+g+h)² = s²+(8-s)²

3STEP 3

완전제곱 만들기

완전제곱을 만들면 균형점에서의 거리만이 중요함이 보인다.

s²+(8-s)² = 2s²-16s+64 = 2(s-4)²+32

4STEP 4

합이 4인 묶음이 있는지 묻기

홀짝 세기가 균형 잡힌 묶음의 모양을 좁힌다.

홀수: {-7,-5,-3,13}, 짝수: {-2,2,4,6}

5STEP 5

홀수 넷과 짝수 넷 지우기

홀수만인 경우와 짝수만인 경우가 모두 실패한다.

-7-5-3+13 = -2, -2+2+4+6 = 10

6STEP 6

홀수 둘과 짝수 둘 지우기

섞인 경우도 실패해 균형점은 도달 불가다.

4-{-12,-10,-8,6,8,10} = {16,14,12,-2,-4,-6}, 어느 것도 {0,2,4,6,8,10}에 없다

7STEP 7

하한을 잡고 그 값에 도달하기

어떤 나눔이 다음 하한에 도달하므로 최솟값은 34, 보기 (C).

13-7-5+2 = 3, -3-2+4+6 = 5, 3²+5² = 9+25 = 34

정답

고쳐 쓴 꼴 2(s-4)²+32에 따르면 이 식이 가질 수 있는 값은 32, 34, 40, 50, 64, … 뿐인데, 다섯 선택지 중 넷(32, 34, 40, 50)이 정확히 그 처음 네 값이다. 선택지 30은 아예 이 꼴이 아니어서 절대 답이 될 수 없으니, 변형이 제대로 되었다는 좋은 신호다. 그러면 모든 것이 "합이 4 인 네 개짜리 묶음은 없다"는 사실 하나에 달리는데, 이것은 분할을 아무렇게나 시도해 본 것이 아니라 홀짝 모양 세 가지를 남김없이 검사해 확정했다.

💡핵심 정리

합이 정해진 두 수는 최대한 고르게 나눌 때 제곱의 합이 가장 작아진다. 완벽한 균형이 불가능하면 그다음으로 가까운 분할이 답이다.

문자들이 모든 수를 쓴다
변수 하나로 줄이기
완전제곱 만들기
합이 4인 묶음이 있는지 묻기
홀수 넷과 짝수 넷 지우기
홀수 둘과 짝수 둘 지우기
하한을 잡고 그 값에 도달하기