AMC 10 · 2005 · #21

학년 8 number-theory

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Ratio Shift — Two State

divisor-countprime-factorizationexponents convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: divisor-countprime-factorization

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 양의 정수의 약수가 정확히 60개이고, 그것의 7배는 정확히 80개다. 그 정수를 나누는 7의 가장 큰 거듭제곱의 지수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

n 에 대해 알려진 것은 약수의 개수 두 개뿐이라, 우리가 궁금해하는 부분에 이름을 붙이는 수밖에 없습니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 n 을 7의 거듭제곱과 7이 없는 부분의 곱으로 쪼개면 지수 k 가 진짜 변수가 됩니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 약수 세기를 한 번의 어려운 계산이 아니라 독립된 두 번의 선택으로 바꿉니다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 두 식을 나란히 놓으면 빼기 한 번에 원하지 않는 미지수가 사라집니다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 조건을 만족하는 n 을 하나 직접 만들어, 구한 k 가 식 위에서만 맞는 값이 아니라 실제로 가능한 값임을 확인합니다.

1STEP 1

n 에서 7을 떼어내기

7을 떼어내면 7이 없는 부분이 남는다.

n = 7^k · m, 7 ∤ m

2STEP 2

약수를 두 번의 선택으로 세기

그러면 약수가 두 번의 독립적인 선택에서 나온다.

d(n) = (k+1) · d(m) = 60

3STEP 3

7을 곱하면 칸이 하나 늘어남

7을 곱하면 정확히 칸 하나가 늘어난다.

7n = 7^k+1 · m, d(7n) = (k+2) · d(m) = 80

4STEP 4

빼서 d(m)만 남기기

두 식을 빼면 다른 쪽 개수가 분리된다.

(k+2)d(m) - (k+1)d(m) = 80 - 60 ⟹ d(m) = 20

5STEP 5

다시 대입해 k 구하기

다시 대입하면 지수는 2다.

(k+1) · 20 = 60 ⟹ k+1 = 3 ⟹ k = 2

6STEP 6

그런 n 이 실제로 있는지 확인

구체적인 수가 실제로 가능함을 보이므로 답은 2, 보기 (C).

n = 7² · 2¹⁹: d(n) = 3 · 20 = 60, d(7n) = 4 · 20 = 80

정답

두 개수 60과 80은 3 : 4의 비이므로, 약수 안에 들어갈 수 있는 7의 거듭제곱 가짓수가 3 에서 4로 늘어난 것입니다. 즉 k+1 = 3이고 k = 2로, 소거해서 얻은 값과 같습니다. 나머지 선택지를 넣어 보면 더 분명해집니다. k = 0이면 d(m) = 60, d(7n) = 120; k = 1이면 d(m) = 30, d(7n) = 90; k = 3이면 d(m) = 15, d(7n) = 75; k = 4이면 d(m) = 12, d(7n) = 72입니다. 80이 나오는 것은 k = 2 뿐입니다.

💡핵심 정리

약수를 세는 일은 선택지를 세는 일입니다. 7의 거듭제곱을 고르고, 남은 부분의 약수를 고른 다음, 두 가짓수를 곱하면 됩니다.

n 에서 7을 떼어내기
약수를 두 번의 선택으로 세기
7을 곱하면 칸이 하나 늘어남
빼서 d(m)만 남기기
다시 대입해 k 구하기
그런 n 이 실제로 있는지 확인