AMC 10 · 2005 · #22

학년 12 algebra

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

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📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

단위원 위에서 시작한 복소수 수열이 켤레와 나눗셈, 허수 단위 곱을 되풀이한다. 2005 단계 뒤에 1에 도착한다. 가능한 시작값의 개수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

2005

(E)

$2^{2005}$

풀이 과정

전략 패턴 찾기

규칙을 2005 번 직접 돌리는 것은 불가능하므로, 문제의 전부는 일반항을 찾는 것입니다. 걸림돌은 켤레복소수인데, 도구 #15(다르게 정리하기)가 이를 없애 줍니다. 단위원 위에서는 z = 1/z 이므로 규칙이 단순한 제곱으로 바뀝니다. 제곱 규칙만 손에 넣으면 도구 #5(패턴 찾기)로 세 항만 계산해도 z_n의 모양이 보이고 귀납법으로 증명할 수 있습니다. 마지막으로 도구 #4(변수 도입하기)로 거대한 지수를 N = 2²⁰⁰⁵이라 이름 붙이면, 2005 단계 전체가 해를 세기 쉬운 방정식 하나로 줄어듭니다.

1STEP 1

모든 항이 단위원 위에 있음

절댓값을 보면 모든 항이 단위원 위에 머문다.

|z_n+1| = (|i|·|z_n|)/|z_n| = (1·|z_n|)/|z_n| = 1

2STEP 2

켤레복소수를 역수로 바꾸기

거기서 켤레는 그냥 역수라 규칙이 제곱으로 접힌다.

z_n+1 = (i z_n)/z_n = (i z_n)/(1/z_n) = i z_n²

3STEP 3

몇 항 돌려 보며 상수가 고정되는 것 보기

반복하면 지수가 두 배가 되고 상수가 고정된다.

z₁ = i z₀², z₂ = i(i z₀²)² = -i z₀⁴, z₃ = i(-i z₀⁴)² = -i z₀⁸

4STEP 4

일반항 증명하기

귀납이 깔끔한 일반항을 증명한다.

z_n = -i z₀^{2ⁿ} (n ≥ 2)

5STEP 5

n = 2005를 대입하기

사슬 전체가 하나의 거듭제곱 방정식이 된다.

-i z₀^{2²⁰⁰⁵} = 1 ⟹ z₀^{2²⁰⁰⁵} = 1/-i = i

6STEP 6

해의 개수 세기

그 근을 세면 2²⁰⁰⁵, 보기 (E).

N = 2²⁰⁰⁵, θ = ((4k+1)π)/2N, k = 0, 1, …, N-1

정답

2²⁰⁰⁵

일반항은 직접 확인해도 맞습니다. z₂ = i z₁² = i(i z₀²)² = -i z₀⁴로, 정확히 -i z₀^{2²}입니다. 개수도 구조적으로 강제됩니다. 매 단계가 제곱이므로 2005 단계를 되짚으면 차수가 2²⁰⁰⁵ 인 방정식이 되고, 1, 2, 4, 2005 같은 작은 선택지로는 그런 차수를 감당할 수 없습니다. 가정 |z₀| = 1 때문에 해를 잃지도 않습니다. z₀^N = i 의 모든 해는 절댓값이 자동으로 1이고, 반대로 점화식은 모든 항을 단위원 위에 붙들어 두기 때문에 더 얻어지는 해도 없습니다.

💡핵심 정리

길이가 1 인 복소수를 자기 켤레로 나누는 것은 그냥 제곱하는 것이고, 2005 번 제곱하면 지수는 매번 두 배가 됩니다.

모든 항이 단위원 위에 있음
켤레복소수를 역수로 바꾸기
몇 항 돌려 보며 상수가 고정되는 것 보기
일반항 증명하기
n = 2005를 대입하기
해의 개수 세기