AMC 10 · 2005 · #23

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta

logarithm-propertiessymmetric-polynomialsexponents convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: logarithm-propertiessymmetric-polynomialsexponents

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 로그 조건이 세 실수를 서로 묶는다. 그 세제곱 조합이 언제나 고정된 두 계수와 10의 두 거듭제곱의 곱의 합과 같다. 그 두 계수의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {15}{2}$

(B)

$\frac {29}{2}$

(C)

(D)

$\frac {39}{2}$

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

두 로그식은 사실 x+y 와 x²+y²에 대한 이야기를 변장시켜 놓은 것입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 변장을 벗기고 s = 10^z이라 이름 붙이면 z 에 관한 모든 정보가 글자 하나에 담깁니다. 구해야 할 x³+y³은 x 와 y 에 대해 대칭이므로, 도구 #15(다르게 정리하기)로 주어진 조건을 x 와 y 의 합과 곱으로 바꾸고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세제곱을 (x+y)²과 (x+y)³ 두 항등식으로 나눕니다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 조건을 만족하는 순서쌍을 하나 잡아, 계산을 검산하는 동시에 a+b 가 다른 값일 수 없음을 확인합니다.

1STEP 1

두 로그 풀어내기

로그를 풀면 두 조건이 대수가 된다.

x+y = 10^z, x²+y² = 10^z+1 = 10 · 10^z

2STEP 2

10의 거듭제곱에 이름 붙이기

10의 거듭제곱에 이름을 붙이면 셋째 문자가 사라진다.

s = 10^z ＞ 0, x+y = s, x²+y² = 10s

3STEP 3

곱 xy 끌어내기

합의 제곱이 곱으로 가는 유일한 다리다.

s² = 10s + 2xy ⟹ xy = (s²-10s)/2

4STEP 4

합의 세제곱 항등식 쓰기

세제곱 항등식이 문자 하나짜리 식을 남긴다.

x³+y³ = s³ - 3s·(s²-10s)/2 = s³ - 3/2s³ + 15s² = -1/2s³ + 15s²

5STEP 5

s 를 10의 거듭제곱으로 되돌리기

되돌리면 두 계수를 읽어 내 합이 29/2이다.

x³+y³ = -1/2 · 10³z + 15 · 10²z, a = -1/2, b = 15, a+b = 29/2

6STEP 6

실제 순서쌍 하나로 확인

실제 순서쌍 하나가 확인해 주므로 답은 29/2, 보기 (B).

z = 0: x+y = 1, xy = -9/2, x³+y³ = 1³ - 3(-9/2)(1) = 29/2 = a+b

정답

29/2

합이 s 이고 곱이 (s²-10s)/2 인 실수 x, y 가 존재하려면 판별식 s²-4·(s²-10s)/2 = 20s-s²이 0 이상이어야 하고, 이는 0 ＜ s ≤ 20 일 때입니다. 즉 S 에는 무한히 많은 z 값에 대한 순서쌍이 들어 있습니다. 그런 z 들에서 10³z와 10²z는 서로 비례하지 않으므로 전부를 만족하는 (a,b)는 유일합니다. 따라서 29/2는 우연히 맞는 값이 아니라 a+b 가 될 수 있는 유일한 값입니다. 값 자체도 선택지 15와 39/2 사이에 자연스럽게 놓이고, 독립적으로 계산한 z = 0의 경우와도 정확히 일치합니다.

💡핵심 정리

x 와 y 에 대해 대칭인 식은 둘의 합과 곱만으로 다시 만들 수 있습니다. 그래서 x, y 에 관한 사실 두 개면 x³+y³이 결정됩니다.

두 로그 풀어내기
10의 거듭제곱에 이름 붙이기
곱 xy 끌어내기
합의 세제곱 항등식 쓰기
s 를 10의 거듭제곱으로 되돌리기
실제 순서쌍 하나로 확인