AMC 10 · 2006 · #10

학년 8 algebracounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

perfect-squaressystematic-enumerationinterval-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: perfect-squares

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

제곱근 안에 또 다른 제곱근이 들어 있다. 이 식 전체가 정수가 되게 하는 실수의 개수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

'정수이다'라는 말은 이름 없는 수를 숨기고 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)는 그 정수를 n 이라 부르고 √(120 - √(x)) = n 이라 쓰라고 말한다. 그다음 도구 #11(거꾸로 풀기)로 바깥부터 안쪽으로 제곱근을 한 겹씩 벗긴다 — 제곱해 바깥 근을 없애고, √(x)를 고립시켜, n 에 대한 조건을 읽어낸다. 문제가 '몇 개'인지 묻고 있으니, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 조건을 통과하는 정수 n 을 센다. 정수에 먼저 이름을 붙이는 것이 무서운 중첩 근호를 단순한 세기 문제로 바꾸는 핵심이다.

1STEP 1

정수에 이름을 붙이고 한 번 제곱하기

정수에 이름을 붙이고 제곱하면 바깥 근호가 사라진다.

√(120 - √(x)) = n → 120 - √(x) = n², n = 0, 1, 2, …

2STEP 2

안쪽 근호 고립시키기

근호는 음수가 아니므로 그 정수에 한계가 생긴다.

√(x) = 120 - n² ≥ 0 → n² ≤ 120

3STEP 3

허용되는 정수 세기

0을 포함해 허용되는 정수를 세면 11개다.

n ∈ {0, 1, 2, …, 10} → n 값 11 개

4STEP 4

각 정수를 하나의 실수 x 에 대응시키기

각각이 서로 다른 값을 주므로 개수는 11, 보기 (E).

x = (120 - n²)² → 서로 다른 실수 x 11 개 → (E)

정답

양 끝을 확인한다. n = 10 일 때: √(x) = 120 - 100 = 20 이므로 x = 400; 검산하면 √(x) = 20, 120 - 20 = 100, √(100) = 10으로 정수다. 좋다. 한 칸 더 밀어 n = 11: √(x) = 120 - 121 = -1 ＜ 0으로 불가능하니 11은 옳게 제외된다. 위쪽(n = 10)도 아래쪽(n = 0)도 유효하고 그 사이 전부 유효하므로 0부터 10까지 11 개다. 함정 선택지 10(D)은 n = 0을 세는 것을 잊을 때 나온다.

💡핵심 정리

숨은 정수에 이름을 붙이고, 제곱해 근을 한 겹 벗긴 뒤, '제곱근은 절대 음수가 아니다'라는 규칙으로 들어맞는 값의 수를 제한하라 — 여기서는 n = 0부터 10까지 11 개이고, 0을 세는 걸 잊는 것이 함정이다.

정수에 이름을 붙이고 한 번 제곱하기
안쪽 근호 고립시키기
허용되는 정수 세기
각 정수를 하나의 실수 x 에 대응시키기

정수에 이름을 붙이고 한 번 제곱하기

안쪽 근호 고립시키기

허용되는 정수 세기

각 정수를 하나의 실수 x 에 대응시키기

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