AMC 10 · 2006 · #12
학년 4 geometry-2dpattern
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바깥지름을 그냥 다 더하면(20 + 19 + … + 3) 지나치게 많이 세게 된다. 연결된 고리들은 하나가 다른 하나 속으로 들어가며 겹치기 때문이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 전체 높이를 서로 겹치지 않는 조각으로 자르라고 말한다. 도구 #1(그림 그리기)이 그 조각이 무엇인지 보여준다 — 각 고리의 윗변이 바로 위 고리의 구멍 속으로 들어가므로, 실제로 쌓이는 것은 안지름들이고, 여기에 맨 위 고리의 윗변과 맨 아래 고리의 아랫변만 덧붙는다. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)로 안지름을 빠르게 더한다: 안지름은 정확히 1부터 18 까지의 자연수라 깔끔하게 짝지어진다. 핵심은 바깥 테두리가 아니라 안쪽 구멍을 재는 것이다.
바깥지름을 안지름으로 바꾸기
두께 때문에 안지름이 1부터 18까지 이어진다.
각 고리의 구멍이 바로 다음 고리가 들어가는 자리이므로, 바깥 테두리가 아니라 구멍 크기가 진짜 중요하다.
4.OA.C.5Identify Subproblems연결된 고리가 어떻게 겹치는지 보기
아래 고리가 위 구멍 안에 숨으므로 구멍만 쌓인다.
두 고리가 맞닿는 곳에서는 한 고리의 변이 다른 고리의 구멍 속에 숨으므로, 그 길이는 딱 한 번만 세어진다.
4.MD.A.2Draw A Diagram안지름을 짝지어 더하기
양 끝을 짝지으면 구멍의 합이 171이다.
가장 작은 수와 가장 큰 수를 짝지으면 모든 쌍의 크기가 같아져, 긴 덧셈이 곱셈 하나로 바뀐다.
가장 작은 것과 가장 큰 것을 짝지으면 모든 짝의 크기가 같아져, 긴 덧셈이 곱셈 한 번이 된다.
▸ 왜?
고르게 늘어선 목록에서 안쪽으로 옮기면 한쪽이 오른 만큼 다른 쪽이 내려간다.
▸ 왜?
안지름이 매번 같은 만큼 줄어들며, 그래서 목록이 고르게 늘어선다.
양 끝의 변 두 개 더하기
삼켜지지 않은 양 끝 변을 더하면 173, 보기 (B).
구멍들은 가운데에 쌓이고, 실제 금속은 맨 위에 1 cm, 맨 아래에 1 cm만 더 붙는다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems연결된 고리는 겹치므로 진짜로 쌓이는 안쪽 구멍만 재라 — 여기서 구멍은 1부터 18까지(합 171)이고, 맨 위와 맨 아래에 금속 1 cm씩을 더하면 173이다.
- 바깥지름을 안지름으로 바꾸기
- 연결된 고리가 어떻게 겹치는지 보기
- 안지름을 짝지어 더하기
- 양 끝의 변 두 개 더하기