AMC 10 · 2006 · #15
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
문제가 최솟값을 묻고 있으므로 도구 #14(극단의 원리)가 풀이가 도달해야 할 기준을 정한다. 되는 z 를 하나 찾는 것만으로는 부족하다. 선택지 중 여러 개가 실제로 되는 값이기 때문이다. 정답은 되는 값이면서 동시에 어떤 양수도 밑돌 수 없는 값이어야 한다. 거기까지 가는 실질적인 일은 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 한다. 각이 두 개 얽혀 있으면 어려우므로, 각의 덧셈 공식을 써서 x 를 완전히 지우고 두 식을 z 하나에 대한 조건으로 바꾼다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 그 이동을 준비한다. cos x = 0을 공식이 실제로 필요로 하는 형태, 즉 sin x 에 대한 진술로 다시 쓰는 것이다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 후보가 정말로 도달 가능함을 보이는 구체적인 x 를 제시하고, 도구 #3(가능성 지우기)은 남은 선택지를 '불가능한 것'과 '가능하지만 최소가 아닌 것'으로 갈라낸다.
x 에 대한 조건 다시 쓰기
코사인이 0이면 사인이 플러스마이너스 1이고 둘 다 가능하다.
단위원에서 첫 좌표가 0 인 점은 맨 위와 맨 아래이므로, 높이는 +1 이거나 -1 이지 한쪽만은 아니다.
11.F-TF.C.8Organize Information In More Ways덧셈 공식으로 x 지우기
덧셈 공식이 미지의 각을 완전히 지운다.
cos x = 0이면 x 만큼의 이동은 사분의 일 회전이고, 사분의 일 회전은 부호만 빼면 코사인을 사인으로 바꿔치기하므로, 문제 전체는 사실 sin z 이야기다.
11.F-TF.C.9Solve An Easier Related Problem반대 방향도 확인하기
두 부호가 모두 맞춰지므로 조건은 정확히 이동량의 사인 크기에 관한 것이다.
x 를 두 가지로 고를 수 있다는 것은 sin z 의 어느 부호든 제자리에 뒤집어 넣을 수 있다는 뜻이라, 부호가 안 맞아 버려지는 후보는 없다.
11.F-TF.A.2Guess And Checkpi/6 아래를 모두 배제하기
그 값 아래에서는 사인이 너무 작아 더 작은 것은 불가능하다.
사인은 첫 사분의 일 회전 동안 0 에서 1까지 꾸준히 올라가므로, 각이 π/6에 닿기 전에는 높이 1/2에 도달할 수 없다.
사인은 첫 4분의 1 바퀴 동안 0에서 꾸준히 오르므로, 각이 30도에 이르기 전에는 2분의 1에 닿을 수 없다.
▸ 왜?
오르기만 하는 값은 어떤 높이를 두 번 지날 수 없으므로, 처음 지나는 곳이 가장 작은 각이다.
▸ 왜?
각은 한 바퀴의 정해진 몫이므로, 30도는 원 위의 한 자리를 분명히 가리킨다.
pi/6 자체를 확인하고 결론짓기
구체적인 짝이 확인해 주므로 답은 π/6, 보기 (A).
아무것도 밑돌 수 없는 값이면서 실제로 그 값에 닿는 각의 짝이 하나 제시되면, 그것이 정의상 최솟값이다.
11.F-TF.A.2Extreme Principle'가장 작은 값'을 묻는 문제에서는 하나를 고르기 전에 되는 값을 전부 찾아야 한다. 여기서는 cos x = 0이 sin x = 1과 sin x = -1을 모두 허용하고, 그 둘을 다 쓰는 것이 답을 7π/6 에서 π/6으로 끌어내린다.
- x 에 대한 조건 다시 쓰기
- 덧셈 공식으로 x 지우기
- 반대 방향도 확인하기
- pi/6 아래를 모두 배제하기
- pi/6 자체를 확인하고 결론짓기