AMC 10 · 2006 · #18

학년 9 algebra
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
functional-equationdomain-restrictionlogical-deduction extreme-principleguess-and-check ↑ 선수 지식: functional-equationdomain-restriction
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
어떤 함수의 정의역이 역수에 대해 닫혀 있고, 어떤 항등식이 한 수에서의 값과 역수에서의 값을 잇는다. 가능한 가장 큰 정의역을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\{x|x\ne 0\}$
(B)
$\{x|x<0\}$
(C)
$\{x|x>0\}$
(D)
$\{x|x\ne -1\;\rm{and}\; x\ne 0\;\rm{and}\; x\ne 1\}$
(E)
$\{-1,1\}$
풀이 과정
전략 다르게 정리하기

식은 하나뿐인 것 같지만 사실 둘이다. 닫힘 조건이 짝점 1/x도 항등식을 읽을 수 있는 정당한 자리임을 보장하기 때문이다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 핵심이다: 같은 규칙을 그 짝점에서 다시 쓰고 두 판본을 나란히 놓으면 둘 사이의 모순이 저절로 드러난다. 이 비교가 어떤 수가 허용되는지를 못 박는데, '가장 큰'이라는 말이 경계를 묻고 있으므로 이는 도구 #14(극단의 원리)의 영역이다. 그러나 경계 논증만으로는 절반만 답한 것이다. 수를 배제하는 논증은 어떤 정의역도 {-1, 1} 보다 클 수 없음을 보일 뿐, 그런 정의역을 갖는 f 가 존재한다는 것은 보이지 않는다. 그래서 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 살아남은 점 위에서 f 를 실제로 만들어, 천장을 답으로 바꾼다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지를 독립적으로 감사한다.

1STEP 1

정의역의 두 규칙 풀어 보기

닫혀 있다는 조건이 짝점도 정의역에 있음을 보장한다.

x ∈ D ⟹ 1/x ∈ D, 0 ∉ D
2STEP 2

짝점에서 항등식 읽기

거기서 항등식을 읽으면 좌변이 같은 두 번째 식이 나온다.

f(1/x) + f (1/(1/x)) = 1/x ⟹ f(1/x) + f(x) = 1/x
3STEP 3

좌변은 하나, 우변은 둘

하나의 수가 둘과 같을 수 없으므로 모든 점이 자기 역수와 같다.

f(x) + f(1/x) = x 그리고 f(x) + f(1/x) = 1/x ⟹ x = 1/x
4STEP 4

정의역의 천장 구하기

그것이 정의역에 점 두 개라는 천장을 씌운다.

x = 1/x, x ≠ 0 ⟹ x² = 1 ⟹ x = ± 1 ⟹ D ⊆ {-1, 1}
5STEP 5

천장에 닿는 f 만들기

구체적인 함수가 그 천장에 닿으므로 답은 {-1,1}, 보기 (E).

2f(1) = 1 → f(1) = 1/2, 2f(-1) = -1 → f(-1) = -1/2
정답
{-1,1}
만든 f 를 정면으로 검사하자. x = 1 에서 f(1) + f(1/1) = 1/2 + 1/2 = 1 = x 로 맞다. x = -1 에서 f(-1) + f(1/-1) = -1/2 + (-1/2) = -1 = x 로 맞다. 따라서 (E)는 그저 마지막에 남은 집합이 아니라 실제 함수로 실현되는 집합이며, '정의역에 들어갈 수 있다'는 물음이 요구하는 것이 바로 이것이다. 오답들은 같은 이유로 무너진다. x ≠ 1/x 인 수를 하나라도 품은 집합은 죽는다. 그 점에서 항등식이 하나의 합을 x 와 1/x 양쪽과 같다고 주장하기 때문이다. (A)는 2를 포함해 모든 0이 아닌 실수를 허용하고, (B)는 -2를, (C)는 2를 허용한다. (D)는 가장 날카로운 함정인데, -1, 0, 1을 정확히 지워 살아남을 수 있었던 유일한 두 수를 버리므로 항등식이 어디에서도 성립하지 않는 집합이 된다. 한 가지 더: {1}과 {-1}도 정당한 정의역이지만 더 작을 뿐이며, 이는 {-1, 1}이 유일한 선택지가 아니라 최대라는 사실과 잘 맞는다.
💡핵심 정리

합 f(x) + f(1/x)는 x 에서 시작하든 1/x 에서 시작하든 똑같아 보이는데 그 값이 x 여야 하므로, 정의역에 허락되는 수는 자기 역수와 같은 수, 곧 1과 -1 뿐이다.

  • 정의역의 두 규칙 풀어 보기
  • 짝점에서 항등식 읽기
  • 좌변은 하나, 우변은 둘
  • 정의역의 천장 구하기
  • 천장에 닿는 f 만들기

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