AMC 10 · 2006 · #2
학년 6 algebra function-evaluationorder-of-operationsexponents identify-subproblems ↑ 선수 지식: function-evaluation
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
새로운 연산이 첫째 수를 세제곱하고 둘째 수를 뺀다. 같은 문자가 모든 자리를 채운 중첩된 식의 값을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
-h
(B)
0
(C)
h
(D)
2h
(E)
$h^3$
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
식 h ⊗ (h ⊗ h)는 한 연산이 다른 연산 안에 숨어 있으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 괄호부터 처리한 뒤 바깥 ⊗ 를 다루라고 말한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 안쪽 결과를 하나의 덩어리로 붙잡아 규칙의 y 자리에 넣게 해 주어, 어떤 입력이 세제곱되는지 헷갈리지 않게 한다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지를 보면 결과는 h 에 대한 단순한 식이어야 하며, 선택지 (E) h³은 결국 상쇄되어 사라지는 항이라 조심해야 할 자연스러운 함정이다.
1STEP 1
안쪽 연산부터 계산하기
안쪽 연산이 차를 준다.
h ⊗ h = h³ - h
괄호로 묶인 규칙은 바깥에서 그 결과를 쓰기 전에 반드시 먼저 끝내야 한다.
6.EE.A.2Identify Subproblems2STEP 2
그 결과를 바깥 규칙에 넣기
첫 입력만 세제곱되므로 그 덩어리 전체가 빠진다.
h ⊗ (h³ - h) = h³ - (h³ - h)
둘째 입력은 아무리 길어도 y 자리에 통째로 들어가 하나의 양으로 빼진다.
6.EE.A.2Introduce A Variable3STEP 3
뺄셈을 분배하고 정리하기
세제곱이 상쇄되어 h가 남는다, 보기 (C).
h³ - (h³ - h) = h³ - h³ + h = h → (C)
차를 빼면 안쪽 각 항의 부호가 뒤집혀, 짝이 되는 h³ 항끼리 서로 지워진다.
차를 빼면 안의 각 조각의 부호가 뒤집히므로, 서로 대응하는 항이 지워진다.
▸ 왜?
합에 걸린 인수는 그 안의 모든 항에 닿으며, 빼기 부호도 그런 인수다.
분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
▸ 왜?
어떤 양에 그 반대되는 양을 더하면 아무것도 남지 않으므로, 그 짝은 그냥 사라진다.
덧셈의 항등원 (0)0을 더하면 아무것도 안 더한 것이라 수가 그대로 남는다.
정답
h
문자를 제대로 다뤘는지 수를 대입해 확인한다. h = 2 라 하자. 안쪽: 2 ⊗ 2 = 2³ - 2 = 6. 바깥: 2 ⊗ 6 = 2³ - 6 = 8 - 6 = 2로 h = 2와 같다. 이 수치 결과는 선택지 (C)와 맞고 나머지를 배제한다: h = 2 일 때 (A) -h = -2, (B) 0, (D) 2h = 4, (E) h³ = 8은 모두 틀리므로 (C)만 남는다.
💡핵심 정리
괄호를 먼저 끝낸 뒤 그 결과 전체를 규칙의 빼는 부분에 넣어라 — 여기서는 두 h³이 상쇄되어 h 만 남는다.
- 안쪽 연산부터 계산하기
- 그 결과를 바깥 규칙에 넣기
- 뺄셈을 분배하고 정리하기