AMC 10 · 2006 · #20

학년 7 probabilitygeometry-3d
유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count
probability-basicsystematic-enumerationspatial-visualization casework ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
벌레가 정육면체 위에서 무작위로 모서리를 7번 지나며, 매번 세 모서리가 같은 확률로 선택된다. 여덟 꼭짓점을 정확히 한 번씩 지날 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{2187}$
(B)
$\frac{1}{729}$
(C)
$\frac{2}{243}$
(D)
$\frac{1}{81}$
(E)
$\frac{5}{243}$
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

모든 7번 이동 순서가 똑같이 나올 수 있으므로, 확률은 그냥 (성공하는 경로의 수)를 (모든 경로의 수)로 나눈 값입니다. 이것이 작은 문제로 쪼개기입니다(도구 #7). 모든 경로를 세는 것은 쉽습니다. 이동마다 선택이 3가지입니다. 어려운 쪽은 성공하는 경로를 세는 것인데, 이는 어떤 꼭짓점도 다시 지나지 않으면서 8개 모두를 지나는 경로입니다. 그것을 깔끔하게 세려면 꼭짓점에 이름을 붙여야 하므로, 정육면체를 그려 이름을 붙이고(도구 #1) 그 모양을 머릿속에 그려 둡니다(도구 #17). 그런 다음 가능한 경우를 순서대로 훑습니다(도구 #2, '몇 가지 방법' 도구): 대칭을 이용해 첫 이동을 하나로 고정하고, 강제되는 갈래를 따라가며 좋은 경로를 모두 나열합니다. 성공 경로는 수가 적고 제약이 아주 강하므로 빠짐없이 나열하기가 알맞은 도구입니다. 대부분의 부분 경로는 스스로 막다른 길에 갇힙니다.

1STEP 1

확률을 경로의 수로 바꾸기

이동이 균등해 확률이 경로 세기가 된다.

P(성공) = (#{좋은 경로})/(#{모든 경로})
2STEP 2

가능한 모든 경로 세기

선택을 곱하면 전체 경로가 2187개다.

#{모든 경로} = 3⁷ = 2187
3STEP 3

정육면체에 이름 붙이고 첫 이동 고정하기

대칭 덕분에 첫 이동 하나가 셋을 대신한다.

A → {B, D, E}, 셋 모두 대칭 → A→ B 경로를 세고 × 3
4STEP 4

A에서 B로 간 뒤의 좋은 경로 모두 나열하기

강제된 진행을 나열하면 갈래마다 좋은 경로가 6개다.

A→ B: (B→ C) 3 + (B→ F) 3 = 6개의 좋은 경로
5STEP 5

좋은 경로를 모두 더해 확률 만들기

합하고 약분하면 2/243, 보기 (C).

P = (3 × 6)/3⁷ = 18/2187 = 2/243 → (C)
정답
2/243
18이라는 수는 그럴듯합니다. 성공 경로는 정해진 출발점에서 정육면체의 모든 꼭짓점을 한 번씩 지나는 길(해밀턴 경로)이고, 정육면체는 대칭이 충분해서 이런 경로는 작고 깔끔한 개수로 나옵니다. 크기도 확인해 봅시다. 18/2187은 1%보다 약간 작은데, 이는 잘 맞습니다. 정확히 7번의 반복 없는 이동으로 8개 꼭짓점을 모두 지나는 것은 까다롭고 드문 사건이므로, 확률이 백분의 일 근처인 것이 합리적입니다. 또한 이 값은 선택지 2/243에 정확히 떨어지고, 억지로 맞춘 계산도 없습니다: 2187 = 3⁷이고 18/9 = 2, 2187/9 = 243입니다.
💡핵심 정리

모든 7번 이동 경로는 똑같이 나올 수 있으므로, 답은 그냥 (8개 꼭짓점을 한 번씩 지나는 경로)를 (모든 3⁷ = 2187개 경로)로 나눈 값입니다. 꼼꼼히 나열하면 좋은 경로는 18개뿐이어서 18/2187 = 2/243이 됩니다.

  • 확률을 경로의 수로 바꾸기
  • 가능한 모든 경로 세기
  • 정육면체에 이름 붙이고 첫 이동 고정하기
  • A에서 B로 간 뒤의 좋은 경로 모두 나열하기
  • 좋은 경로를 모두 더해 확률 만들기

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