AMC 10 · 2006 · #22

학년 11 geometry-2dprobability

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilitytrigonometric-ratiosangle-addition-formula symmetry-argumenteasier-related-problem ↑ 선수 지식: geometric-probabilitytrigonometric-ratios

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

한 변이 2인 정육각형이, 그것을 완전히 바깥에서 둘러싼 원의 중심에 놓여 있다. 원 위에서 균등하게 고른 점에서 세 변 전체가 보일 확률이 정확히 이분의 일이다. 반지름을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\sqrt{2}+2\sqrt{3}$

(B)

$3\sqrt{3}+\sqrt{2}$

(C)

$2\sqrt{6}+\sqrt{3}$

(D)

$3\sqrt{2}+\sqrt{6}$

(E)

$6\sqrt{2}-\sqrt{3}$

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

그림을 노려보다가 "좋은" 호가 어디쯤인지 눈대중으로 정하고 어떤 삼각형 안에서 삼각비를 쓰기 시작하고 싶어진다. 하지만 그것은 유일하게 어려운 부분을 건너뛰는 것이다. 지금까지 어느 것도 어떤 관측점이 세 변 전체를 보는지 말해 주지 않았고, 호의 위치를 보이는 대로 가정하는 논증은 아무것도 증명하지 못한다. 그래서 진짜 작업은 기록 방식을 바꾸는 것이다 — 도구 #15(다르게 정리하기): 육각형을 여섯 개의 선분으로 기술하는 것을 그만두고, 변마다 하나씩 여섯 개의 부등식으로 기술한다. 그러면 "P 에서 변 S_k 전체가 보인다"는 "P 가 S_k 를 담은 직선 너머에 엄밀히 놓여 있다"는 단 하나의 판정으로 바뀌고, 이것을 양방향 모두 증명하고 나면 보이는 변의 개수를 세는 일은 성립하는 부등식의 개수를 세는 일이 된다. 도구 #1(그림 그리기)은 좌표를 잡고 육각형이 제공하는 두 수, 즉 외접원 반지름과 변까지의 거리를 가져온다. 도구 #4(변수 도입하기)는 여섯 부등식을 하나의 각 α=arccos√3/r로 압축한다. 이 각은 시야의 반폭이며 r 에 대한 의존성을 전부 짊어진다. 이어서 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 열두 개의 대칭을 이용해 원 전체를 30° 짜리 쐐기 하나로 줄인다. 도구 #14(극단의 원리)는 그 쐐기 안에서 여섯 개의 각 간격을 크기순으로 세워 셈을 끝낸다 — 문제가 되는 것은 오직 세 번째로 작은 것뿐이고 네 번째로 작은 것은 결코 조건을 만족할 수 없는데, 이 사실이 "세 변"과 "정확히 세 변"이 같은 사건임도 함께 정리해 준다. 마지막 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 cos 75° 의 정확한 값을 구하는, 따로 떼어 놓은 계산 하나다.

1STEP 1

육각형을 여섯 개의 부등식으로

육각형이 변마다 하나씩 여섯 부등식이 된다.

R=2, a=√(2²-1²)=√3, H={X: X · n_k ≤ √3, k=0,…,5}, n_k=(cos 60k°,sin 60k°)

2STEP 2

변 하나가 통째로 보이는 조건

변 전체가 보이는 것은 시점이 그 변의 직선 바깥에 있을 때뿐이다.

Z=λ P+(1-λ)Y, 0 ＜ λ ＜ 1 → Z · n_k=λ (P · n_k)+(1-λ)√3; #보이는 변=#{k: P · n_k ＞ √3}

3STEP 3

각 하나가 셈 전체를 좌우한다

그래서 하나의 각이 셈 전체를 좌우한다.

P · n_k=rcos(θ-60k°) ＞ √3⇔ d(θ,60k°) ＜ α, α=arccos√3/r∈(0°,90°)

4STEP 4

쐐기 하나가 열두 벌

열두 개의 대칭이 원을 하나의 쐐기로 줄인다.

12 개의 대칭 → Pr=([0°,30°] 안에서 좋은 t 의 크기)/30°

5STEP 5

세 개는 되어도 네 개는 안 된다

세 변은 보일 수 있어도 네 변은 안 된다.

t ≤ 60°-t ≤ 60°+t ≤ 120°-t ≤ 120°+t ≤ 180°-t; 좋다⇔ 60°+t ＜ α; 120°-t ≥ 90° ＞ α

6STEP 6

확률을 읽어 내기

주어진 확률이 그 각을 75도로 확정한다.

Pr=(α-60°)/30°=(12(α-60°))/360°=1/2 → α-60°=15° → α=75°

7STEP 7

각을 길이로 바꾸기

각을 길이로 바꾸면 3√(2)+√(6), 보기 (D).

r=√3/(cos 75°)=4√3/(√6-√2)=(4√3(√6+√2))/4=√(18)+√6=3√2+√6 → (D)

정답

3√(2)+√(6)

구한 수를 판정 기준에 그대로 다시 넣어 보자. r=3√2+√6≈ 6.6921이고 변까지의 거리는 √3≈ 1.73205 이므로 비는 √3/r≈ 0.258819이고, cos 75°≈ 0.258819 — 소수점 여섯 자리까지 일치한다. 더 좋은 것은 역코사인을 전혀 쓰지 않고 정확하게 확인하는 것이다. 이 답의 바탕에 있는 주장은 방향 0° 를 둘러싼 좋은 호가 정확히 θ=15° 에서 끝난다는 것이고, 2단계에 따르면 이는 점 r(cos 15°,sin 15°)가 바깥쪽 수선이 -60° 를 향하는 변을 담은 직선 위에 정확히 놓인다는 뜻이다. 확인해 보자: 그 내적은 rcos(15°-(-60°))=rcos 75°=(3√2+√6)(√6-√2)/4=(3√(12)-6+6-√(12))/4=2√(12)/4=4√3/4=√3이고, 이것이 바로 변까지의 거리다. 경계가 변의 직선 위에 정확히 떨어지므로 좋은 호 여섯 개는 정말로 30° 폭이고 정말로 합이 180° 다. 구조적인 확인 두 가지. 첫째, 크기: r≈ 6.69는 중심에서 한 변 길이의 세 배가 넘는 거리이고, 5단계에 따르면 2√3≈ 3.46 보다는 반드시 커야 하므로 규모가 맞는다. 또 r→∞ 일 때 확률이 1로 올라가므로 지나치게 클 수도 없다. 둘째, 선택지들은 의도적으로 촘촘하다 — 6.293, 6.610, 6.631, 6.692, 6.753 — 그래서 눈대중으로는 전혀 갈라지지 않지만 공식 (arccos(√3/r)-60°)/30°는 갈라놓는다: (A)는 약 0.4674, (B)는 약 0.4937, (C)는 약 0.4953, (D)는 0.5000, (E)는 약 0.5046이다. 정확히 1/2 인 것은 (D)뿐이고, 6단계의 엄격한 증가성이 다른 어떤 반지름도 그럴 수 없음을 보장한다. 짚어 둘 함정이 하나 있다. 확률이 정확히 1/2 일 때는 좋은 호와 나쁜 호의 폭이 같으므로, 좋은 호를 실수로 꼭짓점 방향에 두었던 풀이도 180°-2α=30° 를 풀어 똑같이 α=75° 를 얻는다 — 하필 이 확률에서는 그 오류가 드러나지 않는다. 6단계에서 그림을 믿는 대신 t=0과 t=30을 직접 시험해 본 이유가 이것이다.

💡핵심 정리

어떤 도형의 한 변이 통째로 보이는 것은 그 변이 놓인 평평한 벽을 지나쳐 섰을 때뿐이다. 그래서 무엇이 보이는지 세는 일은 여섯 개의 벽 중 몇 개를 넘어서 있는지 세는 일이 되고, 그다음부터 문제는 전부 각의 문제다.

육각형을 여섯 개의 부등식으로
변 하나가 통째로 보이는 조건
각 하나가 셈 전체를 좌우한다
쐐기 하나가 열두 벌
세 개는 되어도 네 개는 안 된다
확률을 읽어 내기
각을 길이로 바꾸기