AMC 10 · 2006 · #7

학년 7 algebra
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Chained Ratio Linking
percentagelinear-equations-one-varfloor-function convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentage
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
세 사람의 나이가 두 백분율 비교로 이어져 있고 합이 23.2살이다. 첫 사람이 다음 생일에 몇 살이 되는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
7
(B)
8
(C)
9
(D)
10
(E)
11
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

두 문장의 말 속에 곱셈 두 개가 숨어 있으므로 도구 #13(대수로 바꾸기)이 앞장섭니다: 각 비교를 곱하는 수로 다시 씁니다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 어느 나이를 기준으로 삼을지 정합니다 — Danielle을 기준으로 잡으면 사슬이 변수 하나로 정리되고 나눗셈이 필요 없습니다. 그다음 도구 #4(변수 도입하기)로 모든 것을 식 하나로 줄입니다. 도구 #8(단위 살펴보기)이 문제를 마무리합니다: 나온 수는 "년" 단위의 시간이고, 질문은 그 수가 아니라 생일을 묻습니다. 바로 이 마지막 번역에서 문제의 승부가 갈리므로 따로 한 단계를 둡니다.

1STEP 1

각 비교를 곱하는 수로 바꾸기

각 비교가 하나의 곱하는 수가 된다.

m = 1.2s s = 0.6d
2STEP 2

Danielle을 기준으로 삼기

사슬 끝을 기준으로 삼으면 세 나이를 문자 하나로 쓴다.

m = 1.2(0.6d) = 0.72d
3STEP 3

풀고 나서 맞는지 확인하기

합이 근이 정확히 하나인 일차방정식을 준다.

2.32d = 23.2 → d = 10, s = 6, m = 7.2
4STEP 4

7.2를 나이로 읽기

소수인 나이라 다음 생일의 수는 8, 보기 (B).

⌊ 7.2 ⌋ + 1 = 7 + 1 = 8 → (B)
정답
8
세 나이는 Danielle 10, Sally 6, Mary 7.2로 나오고 서로 앞뒤가 맞습니다. Mary가 Sally보다 위에 있다는 점은 더 나이가 많다는 조건과 맞고, 23.2라는 지저분한 합계는 2.32d 뒤에 깔끔한 d = 10이 기다리고 있다는 신호였습니다. 되돌려 넣으면 주어진 세 사실이 모두 정확히 재현되므로, 이 값들은 필연적일 뿐 아니라 실제로 성립합니다. 마지막 답에 대해서는 7 ＜ 7.2 ＜ 8이 (C), (D), (E)를 한 번에 지워 주고, (A) 7은 Mary가 이미 지난 나이일 뿐 앞으로 맞이할 나이가 아니므로 8이 남습니다.
💡핵심 정리

백분율 문장을 곱하는 수로 바꾸고, 아무와도 비교되지 않는 사람을 기준으로 모든 것을 세운 다음, 다음 생일은 내 나이가 아직 닿지 못한 첫 번째 정수라는 것을 기억하세요.

  • 각 비교를 곱하는 수로 바꾸기
  • Danielle을 기준으로 삼기
  • 풀고 나서 맞는지 확인하기
  • 7.2를 나이로 읽기

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