AMC 10 · 2006 · #9

학년 7 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
linear-diophantineinterval-arithmeticlogical-deduction convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: linear-diophantine
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
연필 13자루와 지우개 3개의 값이 정확히 100원이고 값은 모두 정수다. 연필이 지우개보다 확실히 비싸다. 연필 한 자루와 지우개 한 개 값의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
10
(B)
12
(C)
15
(D)
18
(E)
20
풀이 과정
전략 극단의 원리

도구 #13(대수로 바꾸기)과 도구 #4(변수 도입하기)로 장보기 문장을 미지수 두 개짜리 식 13p + 3e = 100 하나로 바꾼다. 미지수가 둘인데 식이 하나면 보통 해가 여러 개이므로, 실제로 일하는 것은 두 부대조건 — 값이 정수라는 것과 연필이 지우개보다 비싸다는 것 — 이다. 도구 #14(극단의 원리)가 이 조건을 가장 날카롭게 쓰는 방법이다. 지우개 값을 허용된 가장 싼 쪽으로 밀어 연필 값의 위쪽 한계를 잡고, 다시 가장 비싼 쪽으로 밀어 아래쪽 한계를 잡는다. 두 한계가 정수 하나로 닫히므로 경우를 나열할 필요가 아예 없다. 도구 #3(가능성 지우기)은 풀이 방법이 아니라 점검용으로 쓰이며, 틀린 선택지 하나가 왜 거기 놓여 있는지도 설명해 준다.

1STEP 1

장보기를 식으로 바꾸기

장보기가 방정식 하나와 두 정수 조건이 된다.

13p + 3e = 100, p ＞ e ≥ 1, p, e ∈ Z
2STEP 2

가장 싼 지우개가 연필의 상한을 정한다

가장 싼 지우개가 연필의 상한을 7로 만든다.

e ≥ 1 → 13p = 100 - 3e ≤ 97 → p ≤ 97/13 ＜ 7.5 → p ≤ 7
3STEP 3

연필이 더 비싸다는 조건이 하한을 정한다

부등식이 그것을 다시 7까지 밀어 올려 값이 확정된다.

e ＜ p → 100 = 13p + 3e ＜ 16p → p ＞ 100/16 = 6.25 → p ≥ 7; p ≤ 7과 합쳐 p = 7
4STEP 4

지우개 값을 구하고 확인하기

풀고 모든 조건을 확인하면 합은 10, 보기 (A).

13(7) = 91, 3e = 100 - 91 = 9, e = 3; p + e = 7 + 3 = 10 → (A)
정답
10
값 쌍 (p, e) = (7, 3)은 모든 조건을 한꺼번에 통과한다: 13 × 7 + 3 × 3 = 91 + 9 = 100 센트로 정확히 맞고, 두 값 모두 센트 단위 정수이며, 연필 7이 지우개 3 보다 비싸다. 크기 감각으로도 맞다 — 물건 16 개가 1 달러를 나누면 평균 100/16 = 6.25 센트인데, 연필이 개수도 많고 값도 비싼 쪽이므로 평균보다 조금 위, 지우개는 한참 아래여야 한다. 7과 3이 바로 그렇다. 다른 선택지는 값 자체가 없어서 죽는다: 가능한 합은 10 뿐이므로 (B), (C), (D) 뒤에는 어떤 값 쌍도 없다.
💡핵심 정리

식은 하나인데 미지수가 둘이면, 가능한 최댓값과 최솟값 사이로 답을 조여 보라. 살아남는 정수가 하나뿐이면 그것으로 끝이다.

  • 장보기를 식으로 바꾸기
  • 가장 싼 지우개가 연필의 상한을 정한다
  • 연필이 더 비싸다는 조건이 하한을 정한다
  • 지우개 값을 구하고 확인하기

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