AMC 10 · 2006 · #1
학년 7 arithmetic exponentsparitypattern-recognition identify-subproblems ↑ 선수 지식: exponentsparity
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
지수가 1부터 2006까지 가는 마이너스 1의 거듭제곱을 모두 더한다. 그 합을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
- 2006
(B)
- 1
(C)
0
(D)
1
(E)
2006
풀이 과정
전략 패턴 찾기
항이 2006 개나 되므로 하나씩 더하는 것은 무리다. 도구 #5(패턴 찾기)로 각 항이 -1, +1, -1, +1, … 로 번갈아 나온다는 것을 알아챈다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 긴 합을 두 항씩 짝지으면 각 짝이 0으로 사라진다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지를 보면, (-1)ⁿ 은 항상 ± 1 뿐이므로 합이 ± 2006 처럼 커질 수 없어 (A)와 (E)는 계산하기도 전에 지워진다.
1STEP 1
각 항의 값 확인하기
항이 마이너스 1과 플러스 1을 번갈아 간다.
(-1)¹=-1, (-1)²=+1, (-1)³=-1, (-1)⁴=+1, …
-1의 거듭제곱은 지수가 1 씩 늘 때마다 바뀌며 오직 -1 또는 +1 에만 놓인다.
6.EE.A.1Look For A Pattern2STEP 2
두 항씩 짝짓기
이웃끼리 짝지으면 모든 짝이 0이 된다.
(-1+1)₀ + (-1+1)₀ + … = 0 + 0 + …
음수와 짝이 되는 양수가 서로 상쇄되어 각 짝이 조용히 사라진다.
음수 항마다 짝이 되는 양수 항이 옆에 있으므로, 모든 짝이 조용히 지워진다.
▸ 왜?
마이너스 1의 거듭제곱은 지수가 하나 오를 때마다 마이너스 1과 플러스 1 사이를 오간다.
짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.
▸ 왜?
어떤 양에 그 반대되는 양을 더하면 아무것도 남지 않으므로, 그 짝은 0을 보탠다.
덧셈의 항등원 (0)0을 더하면 아무것도 안 더한 것이라 수가 그대로 남는다.
3STEP 3
짝의 개수를 세고 마무리하기
개수가 짝수라 남는 것이 없어 합은 0, 보기 (C).
2006 ÷ 2 = 1003 개의 짝, 1003 × 0 = 0 → (C)
항의 개수가 짝수이면 빈틈없이 짝지어지고, 아무리 모아도 0은 0이다.
6.NS.B.2Eliminate Possibilities정답
0
각 항은 -1 또는 +1 뿐이라 누적 합이 0 에서 멀리 벗어날 수 없으므로, 그것만으로 (A) -2006과 (E) 2006은 곧바로 지워진다. 2006이 짝수이므로 -1의 개수와 +1의 개수가 각각 1003 개로 같아 정확히 상쇄되고, 남는 ± 1이 없어 (B)와 (D)도 제거되며 0이 확정된다. 짧은 경우로 확인해 보면 (-1)¹+(-1)²=0, (-1)¹+…+(-1)⁴=0 처럼 항의 개수가 짝수인 합은 언제나 0에 놓인다.
💡핵심 정리
-1의 거듭제곱은 -1과 +1 사이를 오갈 뿐이니 두 개씩 짝지어라 — 각 짝은 0으로 상쇄되고, 항의 개수가 짝수이면 아무것도 남지 않는다.
- 각 항의 값 확인하기
- 두 항씩 짝짓기
- 짝의 개수를 세고 마무리하기