AMC 10 · 2006 · #18
학년 7 countinggeometry-2d답을 골라 클릭하세요.
도착점을 세려면 도착점의 집합부터 정확히 그려야 하므로 도구 #1(그림 그리기)이 중심이 된다. 도달 가능한 점들은 기울어진 정사각형을 채우고, 그림만 정확하면 세는 일은 쉽다. 그 그림을 제대로 얻으려면 세 조각이 필요하다. 도구 #4(변수 도입하기)로 각 방향의 걸음 수에 이름을 붙이면 경로가 두 좌표로 바뀐다. 이어서 도구 #14(극단의 원리)가 바깥 경계를 확정한다 — 격자 위 거리로 10보다 더 멀리는 갈 수 없다. 체스판 색칠은 경계만으로는 놓치는 두 번째 제한을 더해 준다. 가장 빠뜨리기 쉬운 단계는 그 역이다. 두 제한은 점을 배제할 뿐, 살아남은 점이 실제로 도달된다는 것은 아직 아무것도 보이지 않았다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 그 빠진 절반을 채운다 — 최소 걸음으로 목표에 간 뒤 남은 걸음을 소모하면 된다. 두 절반이 모두 증명된 뒤에야 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 영역을 열별로 센다.
경로를 두 수로 바꾸기
경로 전체가 두 수로 줄어든다.
어디서 끝나는지는 각 방향으로 몇 걸음 갔는지에만 달려 있고, 그 순서에는 전혀 달려 있지 않다.
6.EE.B.6Introduce A Variable바깥 경계 찾기
뛴 횟수가 거리를 제한해 바깥 경계가 생긴다.
한 걸음은 집에서 많아야 한 칸 더 멀어지게 하므로, 열 걸음으로는 거리 10을 넘길 수 없다.
6.NS.C.7Extreme Principle격자를 체스판처럼 색칠하기
체스판 색칠이 안쪽 점의 절반을 배제한다.
한 걸음마다 체스판 색이 바뀌므로, 짝수 번 걸으면 색은 출발할 때의 색으로 돌아온다.
한 걸음마다 체스판의 다른 색으로 옮겨 가므로, 걸음 수가 짝수면 처음 색으로 돌아온다.
▸ 왜?
이웃한 칸은 언제나 반대 색이므로, 한 걸음으로는 결코 색이 유지되지 않는다.
▸ 왜?
짝수 번 뒤집으면 처음 자리로 돌아오고, 홀수 번이면 반대편에 놓인다.
남은 점이 정말 도달되는지 증명하기
왔다 갔다 낭비하는 짝이 남은 점이 모두 도달 가능함을 보인다.
목표까지 곧장 걸어간 다음, 남는 걸음은 나갔다 돌아오며 두 개씩 없애면 된다.
6.NS.C.8Solve An Easier Related Problem마름모를 열별로 세기
열별로 세면 121, 보기 (B).
기울어진 정사각형을 세로 열로 잘라, 한 칸 걸러 하나씩만 되는 높이를 세어 더한다.
7.NS.A.1Make A Systematic List도착할 수 있는 자리를 세기 전에 두 절반을 모두 증명하라 — 어떤 점이 막히는지, 그리고 남은 점은 정말로 도달되는지.
- 경로를 두 수로 바꾸기
- 바깥 경계 찾기
- 격자를 체스판처럼 색칠하기
- 남은 점이 정말 도달되는지 증명하기
- 마름모를 열별로 세기