AMC 10 · 2006 · #19
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
문제가 '어느 것이 나이가 아닌가'를 묻고 있으므로 도구 #3(가능성 지우기)이 잘 맞습니다. 한 후보가 불가능함을 보이면 그것이 답이 됩니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 두 번씩 나오는 두 숫자를 a, b로 이름 붙이면, 9로 나누어떨어지는 규칙이 a+b에 대한 깔끔한 식으로 바뀝니다. 도구 #14(극단의 원리)는 후보들을 아무렇게나 시험하지 말고 나눗셈 규칙이 가장 까다로운 것부터 공략하라고 말합니다. 5의 배수는 반드시 0이나 5로 끝나야 하는데, 이는 보기 중 마지막 자리 조건이 가장 엄격하므로 5가 가장 먼저 깨질 가능성이 높습니다. 바로 그 지점을 파고드는 것이 문제를 푸는 열쇠입니다.
나이 집합과 숫자 모양 정하기
아홉은 언제나 나이이고, 숫자가 두 번씩이라 합이 짝수다.
서로 다른 여덟 나이가 9 이하이면 값 하나만 뺄 수 있고, 모든 나이로 나누어떨어진다는 것은 그 모든 수의 공배수라는 뜻이다.
4.OA.B.4Introduce A Variable9로 나누어떨어짐 → a + b = 9
그래서 두 숫자의 합이 아홉으로 강제된다.
어떤 수가 9의 배수인 것은 자릿수의 합이 9의 배수일 때뿐이고, 서로 다른 두 숫자는 18이 아니라 9에만 도달할 수 있다.
어떤 수가 9의 배수인 것은 그 자릿수의 합이 9의 배수일 때뿐이다.
▸ 왜?
각 자리의 값은 9의 배수보다 하나 크므로, 나눗셈에서는 자릿수의 합만 살아남는다.
▸ 왜?
서로 다른 두 자릿수로는 9까지만 닿을 수 있으므로, 그 규칙이 쓸 만한 합을 정확히 하나 남긴다.
나이 5를 시험: 숫자가 0과 9로 강제된다
한 후보를 시험하면 숫자가 0과 9로 강제된다.
5로도 2로도 나누어떨어지면 반드시 0으로 끝나야 하고, 그러면 자릿수 합 규칙이 짝이 되는 숫자를 하나로 못박는다.
4.OA.B.4Extreme Principle0,0,9,9로는 번호판을 만들 수 없어 5는 불가능
어느 배치도 안 되므로 그 후보는 불가능하다.
그 숫자들로 만든 모든 후보 번호판은 아버지를 0살로 만들거나 4로 나누어떨어지지 않아, 합법적인 수가 하나도 남지 않는다.
4.NBT.B.6Eliminate Possibilities실제 번호판으로 5가 빠진 나이임을 확인
실제 번호판이 확인해 주므로 답은 5, 보기 (B).
5를 빼는 경우에 대해 실제로 작동하는 번호판을 만들어 보이면, 불가능 논증이 우연이 아니었음이 증명된다.
6.NS.B.4Guess And Check9살 아이가 있으니 두 반복 숫자의 합은 9가 되어야 하고, 5라면 숫자가 0과 9가 되어야 하는데 그것으로는 결코 진짜 번호판을 만들 수 없으므로, 아무도 갖지 않은 나이는 5이고 5544가 그것을 증명한다.
- 나이 집합과 숫자 모양 정하기
- 9로 나누어떨어짐 → a + b = 9
- 나이 5를 시험: 숫자가 0과 9로 강제된다
- 0,0,9,9로는 번호판을 만들 수 없어 5는 불가능
- 실제 번호판으로 5가 빠진 나이임을 확인