AMC 10 · 2006 · #2
학년 7 algebra function-evaluationdifference-of-squaresorder-of-operations identify-subproblems ↑ 선수 지식: function-evaluation
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
새로운 연산이 두 수의 합과 차를 곱한다. 이 연산을 중첩해 적용한 값을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
- 72
(B)
- 27
(C)
- 24
(D)
24
(E)
72
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
식은 한 ♠가 다른 ♠를 감싼 모양이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)에 따라 안쪽 연산 4 ♠ 5를 먼저 풀어 하나의 수를 얻은 뒤, 그 수를 바깥쪽 3 ♠ ( )에 넣는다. (x+y)(x-y)가 곱셈 공식 x²-y²(제곱의 차)임을 알아채면 각 ♠가 '제곱 빼기 제곱'으로 빠르게 계산된다. 도구 #3(가능성 지우기)은 핵심 함정을 막는다: 이 연산은 결합법칙이 성립하지 않으므로 3과 4를 먼저 잡거나 x와 y를 바꾸면 오답 선택지로 빠진다.
1STEP 1
규칙을 제곱의 차로 읽기
그 규칙은 그냥 제곱의 차다.
x ♠ y = (x+y)(x-y) = x² - y²
합과 그에 대응하는 차의 곱은 언제나 한 제곱에서 다른 제곱을 뺀 것으로 정리된다.
합에 그와 짝이 되는 차를 곱하면 언제나 한 제곱에서 다른 제곱을 뺀 것으로 접힌다.
▸ 왜?
두 제곱의 차는 정확히 두 수의 합에 두 수의 차를 곱한 것이다.
제곱의 차는 인수분해된다같은 두 수의 합과 차를 곱하면 가운데 항이 지워지고 첫 제곱에서 둘째 제곱을 뺀 것만 남는다.
▸ 왜?
한 괄호의 각 항을 다른 괄호에 퍼뜨리면 가운데 항이 지워지고 제곱만 남는다.
분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
2STEP 2
안쪽 연산 먼저 하기
안쪽 연산이 -9를 준다.
4 ♠ 5 = 4² - 5² = 16 - 25 = -9
더 큰 두 번째 수를 제곱하면 그 차는 음수가 된다.
6.EE.A.1Identify Subproblems3STEP 3
그 결과를 바깥쪽 연산에 넣기
제곱이 부호를 지워 바깥 단계에서 -72가 된다, 보기 (A).
3 ♠ (-9) = 3² - (-9)² = 9 - 81 = -72 → (A)
작은 제곱에서 훨씬 큰 제곱을 빼면 0보다 한참 아래로 내려간다.
7.NS.A.1Eliminate Possibilities정답
- 72
각 ♠는 '제곱 빼기 제곱'이고, 마지막 단계에서 9에서 81을 빼므로 큰 음수가 나오는 것이 자연스럽다 — 따라서 양수 선택지 (D) 24와 (E) 72는 바로 배제된다. -9를 제대로 +81로 제곱한 것((-81이 아니라))이 핵심이며, -81로 잘못 보면 9-(-81)=90이 되어 선택지에도 없으므로 부호를 옳게 다뤘음이 확인된다. 크기 72도 81-9와 일치하므로 -72는 앞뒤가 맞는다.
💡핵심 정리
새로 정의된 기호가 공식으로 주어지면 괄호 안의 연산을 먼저 하고 그 수를 바깥쪽 연산에 넣어라 — 제곱을 뺄 때는 부호를 조심해야 한다.
- 규칙을 제곱의 차로 읽기
- 안쪽 연산 먼저 하기
- 그 결과를 바깥쪽 연산에 넣기