AMC 10 · 2006 · #20

학년 11 probability

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

floor-functionlogarithm-propertiesgeometric-probabilitygeometric-series-infinite identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: floor-functionlogarithm-properties

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

0과 1 사이에서 균등하게 고른 수를 그것의 네 배와 비교한다. 두 수의 자릿수 지표가 같을 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac 18$

(B)

$\frac 3{20}$

(C)

$\frac 16$

(D)

$\frac 15$

(E)

$\frac 14$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

구간 (0,1)은 다루기 까다롭다. 흥미로운 일이 0 근처에 무한히 쌓이기 때문에, 전체를 한 번에 덮는 식이 없다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 10의 거듭제곱 자리에서 구간을 잘라 [10^k,10^k+1) 꼴의 창으로 나눈다. 이 절단이 정답인 이유는 ⌊log₁₀⌋가 정확히 그 창 위에서 상수이고, 더 넓은 곳에서는 상수가 아니기 때문이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 상수를 k라 부르면 바닥함수 방정식이 x에 대한 평범한 부등식으로 바뀐다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 무엇이 성립해야 하는지 대신 무엇이 어긋날 수 있는지를 묻는다. 4 ＜ 10이므로 실패는 오직 4x가 자기 창의 위쪽 경계를 넘는 경우뿐이다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 창 하나를 완전히 해결하고, 도구 #5(패턴 찾기)로 무한한 쌓임을 무해하게 만드는 사실을 붙잡는다. 창에서 조건을 만족하는 비율이 모든 k에 대해 같은 값이라는 사실이다.

1STEP 1

바닥값을 10의 거듭제곱 창으로 읽기

바닥값이 10의 거듭제곱 사이의 창을 가리킨다.

⌊log₁₀t⌋=k⇔ k ≤ log₁₀t ＜ k+1⇔ 10^k ≤ t ＜ 10^k+1

2STEP 2

4를 곱하면 창을 많아야 하나만 넘는다

4를 곱하면 창을 많아야 하나 넘는다.

10^k ≤ x ＜ 10^k+1 → 10^k ＜ 4x ＜ 10^k+2; 0 ＜ log₁₀₄ ＜ 1 → ⌊log₁₀₄x⌋-⌊log₁₀x⌋∈{0,1}

3STEP 3

창 하나를 정확히 해결하기

한 창 안에서 성공하는 부분은 깔끔한 구간이다.

창 k에서 성공 구간=[10^k, (10^k+1)/4)=[10^k, 2.5 · 10^k), 길이 1.5 · 10^k, 창의 길이 9 · 10^k

4STEP 4

모든 창이 같은 비율을 내놓는다

모든 창이 같은 비율을 준다.

(1.5 · 10^k)/(9 · 10^k)=(10/4-1)/(10-1)=3/2/9=1/6 (모든 정수 k에 대해)

5STEP 5

창들이 (0,1)을 남김없이 덮는다

창들이 범위를 남김없이 덮는다.

(0,1)=bigcup_k ≤ -1[10^k,10^k+1) (서로 겹치지 않음), Σ_k ≤ -19 · 10^k=9·1/10/(1-1/10)=1

6STEP 6

성공 구간의 길이를 모두 더하기

성공 구간의 길이를 더하면 1/6이다.

Σ_k ≤ -1 3/2 · 10^k=3/2·1/10/(1-1/10)=3/2·1/9=1/6

7STEP 7

길이를 확률로 바꾸기

전체 길이가 1이므로 확률은 1/6, 보기 (C).

P=(성공 길이)/(전체 길이)=1/6/1=1/6 → (C)

정답

1/6

세 가지 점검이 모두 일치한다. 첫째, 크기. 1/6≈ 0.167은 그럴듯한 몫이고, (0,1) 위에서 x를 촘촘한 격자로 훑으면 조건이 약 16.7%의 비율로 성립한다. 둘째, 함정. 선택지 (B) 3/20=0.15는 창 [0.1,1) 하나만의 성공 길이, 즉 [0.1,0.25)의 길이와 정확히 같다. 가장 큰 창에서 멈춘 사람은 3/20에 도달하며, 3/20과 1/6의 차이가 바로 더 작은 창들 전부의 몫이다. 그러므로 (B)는 다른 질문의 답이다. 셋째, 논증이 걸린 가정이 눈에 보인다. 답이 1/6인 이유는 x가 각 창 안에서 균등하기 때문이다. 각 창 안에서 균등하기만 하면 창들에 어떤 무게를 주든 답은 여전히 1/6이지만, 대신 log₁₀x가 균등한 분포라면 1-log₁₀₄≈ 0.398이 된다. 끝으로 4x가 정확히 10의 거듭제곱이 되는 경계점 x=2.5 · 10^k들은 전체 길이가 0인 가산집합이므로, 포함하든 제외하든 답은 달라지지 않는다.

💡핵심 정리

4를 곱해도 10의 거듭제곱 경계는 많아야 하나만 넘고, 어느 거듭제곱 창에서든 그대로 남는 부분은 언제나 같은 1/6이므로 확률은 1/6이다.

바닥값을 10의 거듭제곱 창으로 읽기
4를 곱하면 창을 많아야 하나만 넘는다
창 하나를 정확히 해결하기
모든 창이 같은 비율을 내놓는다
창들이 (0,1)을 남김없이 덮는다
성공 구간의 길이를 모두 더하기
길이를 확률로 바꾸기