AMC 10 · 2006 · #7
학년 7 counting fundamental-counting-principlepermutations-basicsystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: fundamental-counting-principle
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
가족 네 명이 차의 네 자리에 앉는데 운전석에는 어른 둘만 앉을 수 있다. 앉는 방법의 수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
4
(B)
12
(C)
16
(D)
24
(E)
48
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기
자리 네 개에 사람 네 명이면 한 번에 깔끔하게 셀 만큼 작지만, 그러려면 자리부터 확실히 못 박아야 한다. 자동차를 그려 네 자리에 이름을 붙인 다음, 제한이 걸린 자리를 먼저 채우는 순서로 진행한다. 운전자를 정하고 나면 더 이상 아무 제한도 없고, 나머지는 세 사람을 세 자리에 놓는 평범한 배열이 된다. 그 뒤에는 앞줄에 앉는 두 사람이 누구인지로 나누는 전혀 다른 방식으로 한 번 더 세어, 첫 번째 논리를 전혀 쓰지 않는 경로로 총합을 확인한다.
1STEP 1
네 자리에 이름을 붙인다
자리에 이름을 붙이면 하나씩 채울 수 있다.
자리: D (운전석), F (앞 동승석), B₁, B₂
자리에 이름을 붙이면 자동차 이야기가 채워야 할 네 개의 이름표 붙은 칸으로 바뀐다.
7.SP.C.8Draw A Diagram2STEP 2
제한이 걸린 자리를 먼저 채운다
제한된 자리를 먼저 채우면 이후의 경우의 수가 고정된다.
2_D · 3_F · 2_B₁ · 1_B₂
까다로운 자리는 아직 선택이 자유로울 때 처리하라. 그 뒤에는 그냥 줄 세우기일 뿐이다.
까다로운 자리를 아직 여유가 있을 때 처리하면, 나머지는 평범한 줄 세우기가 된다.
▸ 왜?
운전자를 고를 때마다 저마다 따로인 배열 묶음이 생기며, 묶음끼리는 겹치지 않는다.
겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
▸ 왜?
남은 자리는 서로 상관없이 채워지므로, 선택지의 개수가 곱해진다.
독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
3STEP 3
선택의 수를 곱한다
선택을 곱하면 12다.
2 · 3 · 2 · 1 = 2 · 6 = 12
크기가 같고 겹치지 않는 묶음 두 개는 한 묶음의 두 배가 된다.
3.OA.A.1Identify Subproblems4STEP 4
앞줄을 기준으로 다시 센다
앞줄을 기준으로 다시 세어도 12가 맞는다, 보기 (D).
2 · 2_앞줄에 어른 둘 + 4 · 1 · 2_앞줄에 어른 하나, 자녀 하나 + 0_앞줄에 자녀 둘 = 4 + 8 = 12
같은 모음을 다른 방식으로 잘라 다시 세는 것은 반복이 아니라 진짜 검산이다.
4.OA.A.3Organize Information In More Ways정답
12
답은 쉬운 두 경계 사이에 확실히 들어가야 한다. 아무 규칙이 없다면 4 × 3 × 2 × 1 = 24가지이므로 답은 24보다 작고, 따라서 (D) 24와 (E) 48은 탈락한다. 게다가 48은 네 사람을 앉히는 전체 방법보다도 많다. 반대쪽 끝에서, 두 어른이 앞줄에 앉는 배치만 해도 이미 4가지이고 그보다 더 많은 것이 분명하므로 (A) 4는 너무 작다. 남는 것은 (B) 12와 (C) 16인데, 16은 나눗셈 검사에서 걸린다. Lopez 씨와 Lopez 부인의 자리를 맞바꾸면 한쪽 어른이 운전하는 배치와 다른 쪽 어른이 운전하는 배치가 하나씩 짝지어지므로, 총합은 6과 6이라는 똑같은 두 절반으로 갈라지고 6 + 6 = 12이다.
💡핵심 정리
한 자리에만 규칙이 있고 나머지에는 없다면, 규칙이 있는 자리를 먼저 채워라. 그 뒤로 남은 사람들은 자유롭게 줄을 서면 된다.
- 네 자리에 이름을 붙인다
- 제한이 걸린 자리를 먼저 채운다
- 선택의 수를 곱한다
- 앞줄을 기준으로 다시 센다