AMC 10 · 2006 · #9
학년 7 counting답을 골라 클릭하세요.
유한하고 작은 범위에서 "몇 개인가"를 묻는 문제이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 쓴다. 다만 세 자리 짝수 450개를 모두 나열하는 것이 계획이 아니라, 무엇을 나열할지 제대로 고르는 것이 계획이다. 먼저 도구 #3(가능성 지우기)으로 사용할 수 있는 숫자를 줄인다 — 어떤 자리에도 0은 오지 않고, 일의 자리 숫자는 단 세 가지 값뿐이다. 그다음 도구 #15(다르게 정리하기)가 핵심 역할을 한다. 엄격히 증가하는 수는 어떤 세 숫자를 쓰는지 말고는 아무 정보도 담고 있지 않다. 배열 순서가 이미 정해져 있기 때문이다. 그래서 수를 숫자들의 집합으로 다시 볼 수 있다. 이 다시 보기가 문제의 전부이며, 반드시 양쪽 방향으로 논증해야 한다. 유효한 수는 저마다 숫자 집합을 내어 주고, 거꾸로 — 보통은 논증 없이 주장만 하고 넘어가는 부분인데 — 허용된 숫자 집합은 저마다 유효한 수를 정확히 하나씩 되돌려 준다. 바로 이 두 번째 방향에서 "어떤 숫자도 0이 아니다"라는 사실이 값을 한다. 되살린 수가 정말로 세 자리임을 보장해 주는 것이 그 사실이기 때문이다. 마지막으로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일의 자리 숫자에 따라 서로 겹치지 않는 세 경우로 나누고 그 합을 구한다.
모든 자리에서 0을 지우기
엄격히 커지는 자릿수가 모든 자리에서 0을 밀어낸다.
증가하는 수에서는 가장 작은 숫자가 맨 앞에 서므로, 0이 있다면 맨 앞에 와야 하고 그러면 세 자리 수가 아니게 된다.
2.NBT.A.1Eliminate Possibilities일의 자리 숫자 좁히기
마지막 자릿수는 짝수이면서 자리를 남겨야 해 세 가지만 남는다.
짝수인지는 오직 마지막 자리 숫자만의 사실인데, 여기서는 그 마지막 숫자가 가장 큰 숫자이기도 하므로 그 아래에 더 작은 두 숫자가 들어갈 자리를 남겨야 한다.
2.OA.C.3Eliminate Possibilities수와 숫자 쌍을 짝지어 대응시키기
순서가 정해져 있어 각 수가 더 작은 자릿수 쌍과 대응된다.
숫자가 반드시 커지도록 강제되면 순서는 아무 정보도 나르지 못하므로, 그 수는 자신이 쓰는 숫자들의 집합 그 이상이 아니다.
자릿수가 반드시 커지도록 정해지면 순서는 아무 정보도 담지 않으므로, 수는 그저 자릿수의 모임이다.
▸ 왜?
자릿수의 각 모임은 오름차순으로 딱 한 가지로만 늘어설 수 있으므로, 모임과 수가 완벽하게 짝지어진다.
▸ 왜?
짝을 순서대로 부른 뒤 반으로 나누면, 짝이 어느 쪽을 먼저 불렀는지 기억하지 못한다는 점이 바로잡힌다.
각 c 아래의 쌍 개수 세기
각각보다 작은 쌍을 세면 3, 10, 21이다.
두 개를 고를 때는 순서대로 부른 다음 반으로 나누면 된다. 쌍은 어느 쪽을 먼저 불렀는지 기억하지 않기 때문이다.
7.SP.C.8Make A Systematic List세 경우를 합하기
더하면 34, 보기 (B).
일의 자리 숫자가 모든 수에 정확히 하나의 경우표를 붙여 주므로, 빠뜨리는 수도 두 번 세는 수도 없다.
4.OA.A.3Identify Subproblems숫자가 반드시 커지도록 정해져 있으면 순서는 이미 결정된 것이므로, 이런 수를 세는 일은 어떤 숫자를 쓸지 고르는 경우를 세는 일과 같다.
- 모든 자리에서 0을 지우기
- 일의 자리 숫자 좁히기
- 수와 숫자 쌍을 짝지어 대응시키기
- 각 c 아래의 쌍 개수 세기
- 세 경우를 합하기