AMC 10 · 2007 · #11

학년 6 number-theory

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

place-valuedigit-decompositiondivisibility-rulesprime-factorization identify-subproblems ↑ 선수 지식: place-value

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 자리 수들이 고리를 이루어 각 수의 마지막 두 자리가 다음 수의 앞자리가 된다. 그런 고리의 합을 반드시 나누는 가장 큰 소수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

겹치는 규칙 때문에 각 숫자는 연속된 세 항이 함께 쓰므로, 고리는 사실 원을 따라 쓰인 하나의 숫자 고리 d₁, d₂, …, d_n입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 이 숫자들에 이름을 붙이고 각 항을 100 d_k + 10 d_k+1 + d_k+2로 씁니다. 도구 #5(패턴 찾기)로 고리를 한 칸씩 돌면 모든 숫자가 백의 자리에 한 번, 십의 자리에 한 번, 일의 자리에 한 번씩 온다는 것을 알아챕니다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 항별이 아니라 자릿값 열별로 더하면 합이 숫자 총합의 111배로 줄어듭니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 111을 인수분해하고 선택지와 아주 작은 고리 하나를 써서 항상 강제되는 가장 큰 소수를 찾아냅니다.

1STEP 1

숫자 고리에 이름 붙이기

수보다 숫자 고리에 이름을 붙이는 편이 간단하다.

항_k = 100 d_k + 10 d_k+1 + d_k+2, k = 1, 2, …, n (첨자는 n 으로 나눈 나머지)

2STEP 2

각 숫자는 모든 자리를 한 번씩 방문한다

각 숫자가 모든 자리를 정확히 한 번씩 지난다.

d_k 는 다음처럼 나타남: 100 d_k (항 k), 10 d_k (항 k-1), 1 · d_k (항 k-2)

3STEP 3

항별이 아니라 자릿값별로 더하기

자릿값별로 더하면 합이 111 곱하기 숫자 합으로 인수분해된다.

S = 100T + 10T + T = (100 + 10 + 1) T = 111 T, T = d₁ + … + d_n

4STEP 4

111을 인수분해하고 가장 큰 강제 소수 찾기

인수분해하면 더 큰 것은 강제되지 않으므로 답은 37, 보기 (D).

111 = 3 × 37; S = 111 T → 37 ∣ S 항상; S = 111이면 더 큰 소수는 강제 안 됨 → (D)

정답

주어진 예시 숫자로 확인해 봅니다. 고리 2,4,7,5,6,…은 항 247, 475, 756, …을 만들며, 전체 고리가 무엇이든 이 주장은 S가 숫자 총합의 111배여야 한다고 말합니다. 완결된 작은 고리를 직접 확인하면: 고리 2,4,7,5가 다시 닫히면서 항 247, 475, 752, 524가 나오고, 247+475+752+524 = 1998 = 111 × 18, 그리고 2+4+7+5 = 18 — 111 T 규칙이 성립합니다. 3과 37 모두 1998을 나눕니다. 함정 선택지는 37 근처의 다른 소수들입니다: 7, 13, 43은 어떤 고리는 나누지만 맨 고리 111은 나누지 못하므로 보장되지 않고, 3은 항상 나누지만 37보다 작습니다. 따라서 37이 항상 강제되는 가장 큰 소수라는 결론이 일관됩니다.

💡핵심 정리

고리 덕분에 모든 숫자가 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에 정확히 한 번씩 오므로, 전체 합은 항상 숫자 총합의 111 = 3 × 37배가 되고, 따라서 37이 그 합을 나누는 가장 큰 소수입니다.

숫자 고리에 이름 붙이기
각 숫자는 모든 자리를 한 번씩 방문한다
항별이 아니라 자릿값별로 더하기
111을 인수분해하고 가장 큰 강제 소수 찾기

숫자 고리에 이름 붙이기

각 숫자는 모든 자리를 한 번씩 방문한다

항별이 아니라 자릿값별로 더하기

111을 인수분해하고 가장 큰 강제 소수 찾기

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