AMC 10 · 2007 · #14

학년 7 number-theoryalgebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

prime-factorizationfactorssystematic-enumeration bound-inequality-then-enumeratecaseworkwork-backwards ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

서로 다른 다섯 정수를 각각 6에서 뺀 값들의 곱이 45다. 다섯 정수의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 극단의 원리

문제가 묻는 것은 문자들의 합이지만, 문제가 알려 주는 정보는 전부 다섯 인수에 관한 것이다. 그래서 Tool #4(변수 도입하기)로 인수들을 x_i=6-a_i로 새로 이름 붙이고, 구해야 할 합을 인수들의 합으로 바꾼다. 그 뒤로 이 문제는 하나의 세기 문제가 된다: 인수는 얼마나 커질 여유가 있는가? Tool #14(극단의 원리)가 뼈대다 — 다섯 인수는 모두 달라야 하는데 절댓값이 1인 정수는 1과 -1 둘뿐이고, 45의 나머지 약수는 모두 최소 3의 비용이 든다. 3⁴=81이 이미 45를 넘으므로 이 예산이 목록 전체를 확정한다. Tool #3(가능성 지우기)은 후보를 45의 부호 있는 약수 열두 개로 좁히고 마지막 부호를 결정한다. Tool #2(빠짐없이 나열하기)는 크기가 3 이상인 세 수가 45가 되는 방법을 모두 훑는다. Tool #11(거꾸로 풀기)은 빠른 풀이들이 건너뛰는 단계를 맡는다: 확정된 인수 목록을 다시 a,…,e의 값으로 되돌려, 그것이 정말로 서로 다른 다섯 정수인지 확인하는 일이다.

1STEP 1

다섯 인수에 이름 붙이기

이름을 바꾸면 문제가 한 곱의 다섯 인수가 된다.

x_i=6-a_i, Σ_i=1⁵x_i=30-(a+b+c+d+e), Π_i=1⁵x_i=45

2STEP 2

모든 인수는 45의 약수

각 인수가 곱을 나누므로 선택지가 적다.

45=3² · 5; x_i∈{± 1,± 3,± 5,± 9,± 15,± 45}

3STEP 3

값싼 인수는 두 개뿐

크기 1인 두 인수가 없으면 곱이 너무 커진다.

크기 1인 인수가 하나 이하 → |{Π} x_i| ≥ 3⁴=81 ＞ 45; 따라서 {1,-1}⊆{x₁,…,x₅}

4STEP 4

큰 세 인수를 빠짐없이 나열하기

나머지를 세 인수로 쪼개는 방법은 하나뿐이다.

각 인수가 3 이상인 세 인수로의 분해는 45=3 · 3 · 5뿐이다. 따라서 {x_i}⊇{1,-1,3,-3}이고 다섯째 인수의 크기는 5이다

5STEP 5

마지막 인수의 부호

마지막 인수의 부호는 곱에 의해 강제된다.

1·(-1) · 3·(-3)=9, 9x₅=45→ x₅=5; {x_i}={-3,-1,1,3,5}, Σ x_i=5

6STEP 6

인수를 다시 문자로 되돌리기

되돌리면 합은 25, 보기 (C).

a_i=6-x_i: {9,7,5,3,1}; (-3)(-1)(1)(3)(5)=45; 9+7+5+3+1=25=30-5 → (C)

정답

최종 다섯 수는 문제의 모든 조건을 글자 그대로 통과한다: 9,7,5,3,1은 정수이고 서로 다르며 (-3)(-1)(1)(3)(5)=45가 정확히 성립한다. 합 25는 선택지 (C)이다. 오답 선택지들이 각각 구체적인 실수로 읽힌다는 점도 추론이 제 과녁을 향하고 있다는 좋은 신호다. (A) 5는 인수들의 합 -3-1+1+3+5를 마지막 단계 a+b+c+d+e=30-5 없이 그대로 답한 값이다. (B) 17은 "서로 다른"이라는 조건을 잊었을 때 나온다: 인수 1,1,3,3,5도 곱이 45이고 합이 13이어서 30-13=17이 된다. (E) 30은 인수들이 쌍으로 상쇄되어 합이 0이 된다고 믿을 때 나온다 — -3,-1,1,3이 실제로 상쇄되기 때문에 솔깃하지만 남은 5가 그 대칭을 깨뜨린다. 크기에 대한 독립적인 마지막 점검: 30-Σ x_i가 25이려면 Σ x_i=5여야 하는데, 어떤 정당한 인수 목록이든 1,-1,3,-3을 포함하므로 그 합은 다섯째 인수 그 자체, 즉 5이다. 일치한다.

💡핵심 정리

서로 다른 수들이 곱해서 작은 값이 되어야 할 때는, 그중 몇 개나 아주 작을 수 있는지를 세어 보자: ± 1은 둘뿐이고 나머지는 모두 최소 3배씩 비용이 들며, 그 예산만으로도 목록 전체가 결정된다.

다섯 인수에 이름 붙이기
모든 인수는 45의 약수
값싼 인수는 두 개뿐
큰 세 인수를 빠짐없이 나열하기
마지막 인수의 부호
인수를 다시 문자로 되돌리기