AMC 10 · 2007 · #16

학년 7 countingnumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

paritydigit-constraintscombinations-basicpermutations-basic caseworkcomplementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 세 자리 수의 세 숫자가 모두 다르고 그중 하나가 나머지 둘의 평균이다. 그런 수가 몇 개인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

104

(C)

112

(D)

120

(E)

256

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

세 자리 수 900개를 전부 확인하는 것은 불가능하고, 숫자 집합마다 "이게 평균인가?"라는 식 세 개를 각각 확인하는 것도 별로 낫지 않다. Tool #15(다르게 정리하기)가 이 문제의 뼈대다. 조건을 만족하는 수를 세 숫자로 기술하지 말고 바깥쪽 두 숫자로 기술하자. 그 둘을 정하면 가운데 숫자는 자동으로 결정되기 때문이다. 거기까지 가려면 Tool #13(대수로 바꾸기)으로 "~의 평균이다"라는 말을 식으로 옮기고, Tool #14(극단의 원리)로 가장 작은 숫자와 가장 큰 숫자에서 그 식을 시험해야 한다. 이 시험이 세 경우 중 둘을 없애고, 더 중요하게는 한 집합이 두 가지 방식으로 조건을 만족하는 일이 없음을 증명해 중복 계수를 막는다. 이어서 Tool #2(빠짐없이 나열하기)로 바깥쪽 쌍을 세고, 완전히 다른 방식으로 한 번 더 세어 검산한다. 마지막으로 세어야 하는 것은 집합이 아니라 수이므로, Tool #16(관점 바꾸기)으로 모든 배열을 센 뒤 맨 앞이 0인 것을 지우고, Tool #3(가능성 지우기)으로 각 오답이 어떤 실수에 대응하는지 확인한다.

1STEP 1

숫자를 정렬한 뒤 식으로 옮기기

먼저 정렬하면 평균이 될 수 있는 것은 가운데 숫자뿐임이 보인다.

0 ≤ x ＜ y ＜ z ≤ 9이고, x=(y+z)/2, y=(x+z)/2, z=(x+y)/2 중 하나가 성립

2STEP 2

평균이 될 수 있는 것은 가운데 숫자뿐

바깥 두 숫자는 홀짝이 같아야 한다.

(y+z)/2 ＞ (x+x)/2=x 이고 (x+y)/2 ＜ (z+z)/2=z ⟹ 조건은 정확히 y=(x+z)/2

3STEP 3

바깥쪽 두 숫자가 모든 것을 결정한다

그런 쌍을 세면 숫자 집합이 20개다.

x≡ z (mod 2) ⇔ x+z 가 짝수 ⇔ y=(x+z)/2가 숫자, 그리고 이때 x ＜ y ＜ z

4STEP 4

바깥쪽 쌍을 두 번 세기

각 집합은 여섯 가지로 배열되고 0으로 시작하는 것을 뺀다.

C(5, 2)+C(5, 2)=10+10=20, 그리고 Σ_m=0⁹min(m, 9-m)=0+1+2+3+4+4+3+2+1+0=20

5STEP 5

집합을 수로 바꾸고, 맨 앞의 0을 지우기

다른 방식의 두 번째 세기도 112를 확인해 준다.

20 · 3!-4 · 2!=120-8=112

6STEP 6

총합, 그리고 각 오답의 정체

따라서 개수는 112, 보기 (C).

16 · 6+4 · 4=96+16=112 ⟹ (C)

정답

112

같은 대상을 독립적으로 두 번 센 결과가 일치한다: 20 · 6-8=112이고 16 · 6+4 · 4=112이다. 규모도 타당하다. 숫자가 모두 다른 세 자리 수는 9 · 9 · 8=648개이고, 가능한 숫자 집합 C(10, 3)=120개 중 조건을 만족하는 것은 20개, 즉 여섯 개 중 하나뿐이므로 648/6≈ 108 근처의 값이 나오는 것이 자연스럽다. 112는 바로 거기에 있고 256은 그렇지 않다. 두 종류의 집합을 손으로 확인해 보자. {0,1,2}는 102, 120, 201, 210의 네 개를 주어 여섯 개가 아니라는 0 규칙과 맞고, {1,3,5}는 135, 153, 315, 351, 513, 531의 여섯 개를 준다. 이제 숫자를 0,1,2,3만 허용하는 축소판 문제에 이 방법 전체를 시험해 보자. 홀짝성이 같은 쌍은 {0,2}와 {1,3}이므로 방법은 집합 {0,1,2}와 {1,2,3}, 그리고 총 4+6=10개의 수를 예측한다. 0부터 3까지의 서로 다른 숫자로 만든 세 자리 수를 모두 적어 보면 102, 120, 201, 210과 123, 132, 213, 231, 312, 321의 열 개로 예측이 맞는다. 이 방법은 완전히 확인 가능한 크기의 경우를 정확히 재현한다.

💡핵심 정리

바깥쪽 두 숫자를 홀짝성이 같게 고르면 가운데 숫자는 저절로 정해지므로, 이런 수를 세는 일은 결국 쌍을 세고, 각 집합을 섞고, 0으로 시작하는 배열을 버리는 일이다.

숫자를 정렬한 뒤 식으로 옮기기
평균이 될 수 있는 것은 가운데 숫자뿐
바깥쪽 두 숫자가 모든 것을 결정한다
바깥쪽 쌍을 두 번 세기
집합을 수로 바꾸고, 맨 앞의 0을 지우기
총합, 그리고 각 오답의 정체