AMC 10 · 2007 · #17

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

pythagorean-identityangle-addition-formulatrigonometric-ratiosdouble-angle-formula formula-substitutionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-identitytrigonometric-ratios

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 각의 사인의 합과 코사인의 합이 주어져 있다. 두 각의 차의 코사인을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt{\frac{5}{3}} - 1$

(B)

$\frac 13$

(C)

$\frac 12$

(D)

$\frac 23$

(E)

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

a와 b를 직접 구하는 것은 가망이 없어 보이고, 사실 필요하지도 않다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 코사인 뺄셈 공식을 먼저 쓰면, 구하려는 값이 cos acos b와 sin asin b라는 두 곱으로 이루어져 있음이 드러난다. 핵심이 되는 수는 도구 #15(다르게 정리하기)다. 주어진 두 식을 따로 떨어진 두 사실로 읽기를 멈추고 하나로 합치는 것이다. 합을 제곱하면 그 안에 숨어 있던 곱이 정확히 튀어나오고, 두 제곱식을 더하면 피타고라스 항등식이 필요 없는 항을 전부 삼켜 버리기 때문이다. 여기까지가 값이 무엇이어야 하는지를 정한다. 하지만 제곱은 한 방향으로만 가므로 그런 값을 가지는 것이 실제로 있는지는 아직 정해지지 않았다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 둘로 나눈다. 강제되는 값 하나, 그리고 쌍의 존재 하나다. 도구 #4(변수 도입하기)로 반각 변수 s=(a+b)/2와 d=(a-b)/2를 도입하면 연립식이 풀리고, 도구 #11(거꾸로 풀기)로 그 변수에서 실제 쌍을 만들어 되대입한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 이 모든 것을 시작하기 전에 선택지 (E)를 십 초 만에 지우는 필터다.

1STEP 1

구하는 값의 재료 보기

구하는 값이 정확히 교차항으로 전개된다.

cos(a-b) = cos acos b + sin asin b

2STEP 2

주어진 두 합을 각각 제곱하기

주어진 각 합을 제곱하면 교차항과 제곱항이 나온다.

(sin a+sin b)² = sin² a + sin² b + 2sin asin b = 5/3 (cos a+cos b)² = cos² a + cos² b + 2cos acos b = 1

3STEP 3

더해서 항등식으로 제곱항 없애기

더하면 항등식이 모든 제곱항을 먹어 치운다.

(sin² a+cos² a)₁+(sin² b+cos² b)₁+2(sin asin b+cos acos b) = 5/3+1 = 8/3

4STEP 4

강제되는 값 읽어 내기

읽어 내면 1/3이다.

2 + 2cos(a-b) = 8/3 ⟹ 2cos(a-b) = 2/3 ⟹ cos(a-b) = 1/3

5STEP 5

반각으로 연립식 풀어헤치기

반각 꼴이 원래 연립식을 풀어헤친다.

sin a+sin b = 2sin scos d = √(5/3) 그리고 cos a+cos b = 2cos scos d = 1

6STEP 6

실제로 되는 쌍 만들기

그것이 실제 각 한 쌍을 만들어 준다.

cos² d = 2/3 ⟹ cos d = √(6)/3, sin d = √(3)/3; cos s = 1/(2cos d) = √(6)/4, sin s = 1/(2cos d)√(5/3) = √(10)/4

7STEP 7

되대입해서 마무리하기

되대입하면 1/3이 확인된다, 보기 (B).

cos a+cos b = 12/12 = 1, sin a+sin b = 4√(15)/12 = √(5/3), cos(a-b) = 2cos² d-1 = 1/3 ⟹ (B)

정답

1/3

서로 독립인 네 가지 검증이 모두 일치한다. (1) 범위: 1/3은 코사인 값이 반드시 들어가야 하는 [-1,1] 안에 있다. (2) 선택지 (E)는 위의 계산 없이도 한 줄에 죽는다. cos(a-b)=1이면 a≡ b가 되어 2cos a=1, 2sin a=√(5/3)이고, 따라서 cos² a+sin² a=1/4+5/12=2/3 ≠ 1이다. (3) 수치 확인: 만든 쌍은 a≈ 1.52722, b≈ 0.29626 라디안이고, cos a+cos b≈ 0.04356+0.95644=1.00000, sin a+sin b≈ 0.99905+0.29194=1.29099=√(5/3), cos(a-b)=cos(1.23096)≈ 0.33333이다. (4) 평행사변형 법칙에 의한 교차 확인: 더하는 대신 빼는 방식으로 계산하면 (cos a-cos b)²+(sin a-sin b)² = 2-2cos(a-b) = 4/3이고, 8/3+4/3=4=2(1+1)로 법칙이 요구하는 값과 정확히 맞는다. 함정 두 개는 이름을 붙여 둘 만하다. 선택지 (D) 2/3은 정확히 cos² (a-b)/2이며, 반각 경로에서 마지막 배각 단계를 잊고 멈췄을 때 나오는 수다. 무작위 오답이 아니라 정확히 그 실수를 노린 함정이다. 선택지 (A) √(5/3)-1은 "주어진 두 수를 그냥 조합해 보는" 오답이다. 마지막으로, 이 쌍은 존재할 뿐 아니라 사실상 유일하다. 반각 연립식에서 cos d=±√(2/3)이고 각 부호가 s를 완전히 결정하며, 두 선택은 a와 b를 맞바꾸는 것에 지나지 않는다. 즉 {a,b}는 2π의 차이를 무시하면 하나로 정해지고, 개별 곱까지 확정된다. cos acos b=1/24, sin asin b=7/24이고 그 합은 8/24=1/3이다. 이번에는 두 곱을 따로 구해서 답을 네 번째 방식으로 다시 얻은 셈이다.

💡핵심 정리

주어진 두 합을 제곱해서 더하면, 피타고라스 항등식이 네 개의 제곱항을 삼켜 그냥 2로 만들고 남는 것은 정확히 2cos(a-b)다.

구하는 값의 재료 보기
주어진 두 합을 각각 제곱하기
더해서 항등식으로 제곱항 없애기
강제되는 값 읽어 내기
반각으로 연립식 풀어헤치기
실제로 되는 쌍 만들기
되대입해서 마무리하기