AMC 10 · 2007 · #18

학년 11 algebra
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta
complex-numberspolynomial-rootspolynomial-factoringfunction-evaluation work-backwardspolynomial-factoring ↑ 선수 지식: complex-numberspolynomial-roots
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
최고차항의 계수가 1이고 실수 계수인 사차식이 실수가 아닌 두 근을 가진다. 나머지 네 계수의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
1
(C)
4
(D)
9
(E)
16
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기

결승선은 주어져 있고 출발점이 숨겨져 있다. f가 어디서 0이 되는지는 알고 계수를 구해야 하니, 이것이 바로 도구 #11(거꾸로 풀기)이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 빠진 두 근을 r, s로 이름 붙이면 '계수가 실수'라는 말을 구호가 아니라 근에 대한 식으로 바꿀 수 있다. 이 문제가 실제로 걸려 있는 지점은 켤레근을 찾는 것이 아니다. 그건 기계적이다. 진짜 핵심은 네 근이 최고차항의 계수가 1인 사차식을 유일하게 결정한다는 사실이고, 그러려면 네 수가 서로 모두 달라야 한다. 왜 중요한지 보자. 만약 주어진 두 근이 2i와 -2i였다면 켤레를 취해도 새로운 수가 나오지 않아 f가 결정되지 않고, 문제에는 답이 없게 된다. f가 확정된 뒤에는 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 곱셈을 값싼 순서로 한다. 각 근을 자기 켤레와 짝지으면 실계수 이차식 둘이 나오고 곱이 실수임이 눈에 보인다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 독립적인 검산을 준다. a + b + c + d = f(1) - 1이므로, 다항식을 전개하지 않고 절댓값만 써서 x = 1에서의 값 하나로 답 전체를 읽어 낼 수 있다.

1STEP 1

실계수는 켤레근을 강제한다

실수 계수가 두 켤레근을 데려온다.

f(z) = f(z) ⟹ f(2i)=0 → f(-2i)=0, f(2+i)=0 → f(2-i)=0
2STEP 2

서로 다른 네 근이 f를 확정한다

근 넷과 맞는 차수가 다항식을 정확히 확정한다.

P(x) = (x-2i)(x+2i)(x-(2+i))(x-(2-i)) ∣ f(x), deg P = deg f = 4, 둘 다 최고차항 계수 1 ⟹ f = P
3STEP 3

각 근을 자기 켤레와 짝짓기

켤레끼리 짝지으면 실수 이차식 둘이 나온다.

(x-2i)(x+2i) = x²+4, (x-(2+i))(x-(2-i)) = x²-4x+5
4STEP 4

전개해서 계수 읽어 내기

전개해 더하면 9다.

f(x) = x⁴ - 4x³ + 9x² - 16x + 20 ⟹ a+b+c+d = -4 + 9 - 16 + 20 = 9
5STEP 5

x = 1을 대입해 확인하기

1을 대입하면 전개 없이 9가 확인된다, 보기 (D).

a+b+c+d = f(1)-1 = (1-2i)(1+2i)(-1-i)(-1+i) - 1 = 5 · 2 - 1 = 9
정답
9
가장 강한 검산은 계수를 다시 더해 보는 것이 아니라, 복원한 다항식을 원래 조건에 직접 넣어 보는 것이다. f(x) = x⁴ - 4x³ + 9x² - 16x + 20에 x = 2i를 넣자. 거듭제곱은 (2i)⁴ = 16, (2i)³ = -8i, (2i)² = -4이므로 f(2i) = 16 + 32i - 36 - 32i + 20이고, 실수부는 16 - 36 + 20 = 0, 허수부는 32 - 32 = 0이다. 이번엔 x = 2+i를 넣자. 거듭제곱은 차례로 (2+i)² = 3+4i, (2+i)³ = 2+11i, (2+i)⁴ = -7+24i이고, 실수부는 -7 - 8 + 27 - 32 + 20 = 0, 허수부는 24 - 44 + 36 - 16 = 0이다. 두 조건이 모두 성립하고 네 계수가 모두 실수이므로 이 다항식은 실제로 조건을 만족한다. 2단계에서 이런 다항식이 유일함을 이미 보였으므로 9는 강제된다. 선택지들은 모두 같은 계산에서 한 끗 어긋난 값들이다. (E) 16은 |c|로, 일차항 계수의 부호를 잃었을 때 나오는 값이다. (C) 4는 |a|로, 같은 실수를 한 항 옆에서 한 것이다. (A) 0은 a + c + d = -4 - 16 + 20으로, b를 빠뜨렸을 때의 합이다. 이건 짚어 둘 만한 우연인데, 답 9가 마침 b 하나와 같다는 뜻이기도 하다. (B) 1은 최고차항의 계수로, f(1) - 1 경로에서 반드시 빼야 하는 바로 그 1이고 엉뚱한 순간에 넣거나 빼기 쉬운 값이다. 크기 감각으로도 맞는다. d는 네 근의 곱이므로 |2i|²|2+i|² = 4 · 5 = 20이고, 전개로 얻은 상수항과 일치한다.
💡핵심 정리

계수가 실수면 근은 거울처럼 짝을 지으므로 주어진 두 근이 넷이 되고, 서로 다른 네 근이면 사차식은 완전히 채워진다. 그다음 x=1을 넣으면 계수의 합이 단번에 나온다.

  • 실계수는 켤레근을 강제한다
  • 서로 다른 네 근이 f를 확정한다
  • 각 근을 자기 켤레와 짝짓기
  • 전개해서 계수 읽어 내기
  • x = 1을 대입해 확인하기

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