AMC 10 · 2007 · #2
학년 5 geometry-3d volume-rectangular-prismarea-rectanglesidentify-subproblems identify-subproblems ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prism
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
바닥이 직사각형인 수조에 물이 어느 높이까지 차 있다. 단단한 벽돌 하나를 바닥에 넣는다. 수면이 얼마나 올라가는지 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
0.5
(B)
1
(C)
1.5
(D)
2
(E)
2.5
풀이 과정
전략 그림 그리기
단면을 간단히 그려 보면(도구 #1, 그림 그리기) 핵심이 보인다: 벽돌은 물속에 완전히 잠겨서 자기 부피만큼의 물을 밀어내고, 그 물은 위로 갈 수밖에 없어 밑면 전체에 얇은 층으로 퍼진다. 이 그림이 분명해지면 문제는 두 개의 깔끔한 작은 문제로 나뉜다(도구 #7): 먼저 벽돌의 부피, 그다음 그 부피를 어항 밑면 전체에 펼쳤을 때의 층 높이. 도구 #8(단위 살펴보기)은 마지막 단계를 확인해 준다. cm³ 단위의 부피를 cm² 단위의 밑넓이로 나누면 반드시 cm 단위의 높이가 나오기 때문이다.
1STEP 1
벽돌이 물에 하는 일 파악하기
벽돌이 물을 없애지 않고 밀어낸다.
물에 잠긴 딱딱한 물체는 정확히 자기 부피만큼의 물을 밀어낸다.
물에 잠긴 물체는 정확히 자기 부피만큼의 물을 밀어낸다.
▸ 왜?
물과 벽돌이 함께 수조를 채우므로, 물은 벽돌이 차지한 만큼의 자리를 정확히 내주어야 한다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
▸ 왜?
직육면체는 밑넓이가 끝까지 반복된 것이므로, 올라온 물은 밑넓이 곱하기 올라온 높이다.
각기둥은 밑면을 쌓아 올린 것각기둥은 하나의 평평한 면이 끝까지 반복된 것이므로, 부피는 밑넓이에 높이를 곱한 것이다.
2STEP 2
벽돌의 부피 구하기
밀려난 양은 벽돌의 부피다.
40×20×10=8000 cm³
직육면체의 부피는 그 안을 채우는 단위 정육면체의 개수, 즉 가로 곱하기 세로 곱하기 높이이다.
5.MD.C.5Identify Subproblems3STEP 3
그 부피를 밑면 전체에 펼치기
바닥 전체에 펼치면 2만큼 올라간다, 보기 (D).
4000 × h = 8000 → h = 8000/4000=2 cm → (D)
부피를 밑넓이로 나누면 높이가 나온다. cm³ ÷ cm²= cm이기 때문이다.
5.NBT.B.6Analyze The Units정답
2
답이 작고 양수라는 점이 맞는다 — 작은 벽돌은 넓은 어항의 물을 조금만 밀어 올린다. 크기를 확인해 보자: 벽돌의 바닥 넓이는 40×20=800 cm²로 어항 밑넓이 4000 cm²의 5분의 1이고, 벽돌 높이는 10 cm이므로, 그 10 cm의 고체를 5배 넓은 밑면에 펼치면 약 10×800/4000=2 cm가 되어 일치한다. 또한 어항은 넘치지 않는다: 수위는 40 cm에서 42 cm로 올라가 여전히 50 cm 테두리 아래이므로, 벽돌 전체가 정말로 물속에 잠긴 채이고 추론이 성립한다. 답은 2 cm, (D)이다.
💡핵심 정리
물에 잠긴 물체는 자기 부피만큼의 물을 밀어 올리므로, 그 부피를 어항 밑면에 펼치면 물이 얼마나 올라가는지 알 수 있다.
- 벽돌이 물에 하는 일 파악하기
- 벽돌의 부피 구하기
- 그 부피를 밑면 전체에 펼치기
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