AMC 10 · 2007 · #20

학년 11 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Fraction or Difference of a Bounding Solid

regular-octagonvolume-pyramidisosceles-right-trianglespatial-visualization spatial-visualizationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: regular-octagonvolume-pyramid

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

단위 정육면체의 모든 꼭짓점을 잘라 여섯 정사각형 면이 모두 정팔각형이 되게 한다. 잘려 나간 조각들의 부피의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{5\sqrt{2}-7}{3}$

(B)

$\frac{10-7\sqrt{2}}{3}$

(C)

$\frac{3-2\sqrt{2}}{3}$

(D)

$\frac{8\sqrt{2}-11}{3}$

(E)

$\frac{6-4\sqrt{2}}{3}$

풀이 과정

전략 공간 상상하기

조건은 2차원 면 위에 있는데 묻는 것은 3차원 부피이므로, 도구 #17(공간 상상하기)이 출발점이다. 한 꼭짓점에 놓인 평면 하나는 그 꼭짓점에 모인 세 정사각형 각각에 직선 절단 하나로 나타나고, 그 절단선 하나를 두 면이 동시에 공유한다. 도구 #4(변수 도입하기)로 절단이 각 모서리를 얼마나 깊이 파고드는지에 이름을 붙인다. 이 문제가 실제로 걸려 있는 단계는 건너뛰기 가장 쉬운 단계다. 그림으로 보면 당연해 보이지만, 문제는 절단이 대칭이라고 말한 적도 없고 여덟 꼭짓점이 똑같이 잘린다고 말한 적도 없다. 그것을 가정해 버리면 문제의 대부분을 가정한 셈이 된다. 그래서 계획은 '정'이라는 조건에 두 번 일을 시키는 것이다. 각이 같다는 절반은 각 절단면의 기울기를 45°로 못 박고, 그 결과 절단면은 자기 꼭짓점의 세 모서리를 똑같은 깊이로 파고든다. 변이 같다는 절반은 여덟 꼭짓점이 하나의 깊이를 공유하게 만들고 그 공통값을 확정한다. 그러고 나서야 배치가 유일해지고, 그것이 '부피의 합'이라는 질문을 정당하게 만든다. 같은 논증을 거꾸로 돌리면 그런 절단이 실제로 존재한다는 것도 나온다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 변의 길이가 같다는 조건을 한 줄짜리 식으로 바꾸고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 겹치지 않음을 확인한 뒤 부피를 똑같은 여덟 개의 직각 모서리 사면체로 나눈다.

1STEP 1

절단에 이름 붙이기, 아무것도 가정하지 않기

절단에 대해 아무것도 가정하지 않고 이름만 붙인다.

V=(0,0,0), 절단면은 (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)를 지난다: x/a+y/b+z/c=1

2STEP 2

135도 각이 대칭인 절단을 강제한다

팔각형의 내각이 대칭인 절단을 강제한다.

내각 = 180° - 360°/8 = 135° ⟹ 절단 삼각형은 45°-45°-90° ⟹ a=b=c=t_V

3STEP 3

변의 길이가 같다는 조건이 깊이를 하나로 만든다

팔각형의 변이 같다는 조건이 깊이에 대한 방정식을 준다.

빗변 = t√(2), 직선 변 = 1-2t ⟹ 1-2t = t√(2)

4STEP 4

t를 구하고 실제로 되는지 확인하기

풀면 실제로 맞는 깊이가 나온다.

t=1/(2+√(2))=(2-√(2))/2=1-√(2)/2≈ 0.2929, 팔각형 한 변=t√(2)=√(2)-1

5STEP 5

모서리 조각 하나는 t의 세제곱을 6으로 나눈 값

모서리 조각 하나는 작은 각뿔이다.

V_모서리=1/3Bh=1/3·t²/2 · t=t³/6

6STEP 6

겹칠 수 없는 여덟 조각을 더하기

여덟 조각이 겹칠 수 없어 더하면 (10-7√(2))/3, 보기 (A).

8·t³/6=4t³/3=4/3·(10-7√(2))/4=(10-7√(2))/3≈ 0.0335

정답

(10-7√(2))/3

먼저 크기를 보자. 합은 반드시 0과 1 사이에 있어야 하고, t ＜ 0.3이므로 여덟 조각의 합은 8·0.3³/6=0.036보다 작다. 이 거친 부등식 하나만으로 (C) ≈ 0.0572, (D) ≈ 0.1046, (E) ≈ 0.1144가 모두 탈락하고 (A) ≈ 0.0237와 (B) ≈ 0.0335만 남는다. 그래서 마지막 비교에는 정확한 값 (10-7√(2))/3=0.03350…이 실제로 필요하고, 그 값은 (B)로 떨어진다. 둘째 점검은 차원 비교다. 각 면은 넓이 t²/2인 삼각형 네 개를 잃으므로 2t²=3-2√(2)≈ 0.172, 즉 면 넓이의 약 17%를 잃는데 부피는 약 3.4%만 사라진다. 이것이 정확히 일어나야 하는 일이다. 각 모서리 조각은 자기가 들어앉은 작은 t-상자의 1/6만 채우므로, 겉보기 밑넓이에 비해 훨씬 얇기 때문이다. 오답들은 모두 같은 계산에서 한 끗 어긋난 결과이고, 이름을 붙여 둘 만하다. (E)는 4t²/3, 즉 최종 식 4t³/3에서 지수를 하나 떨어뜨린 값이다. 다시 말해 지금 3차원에 있다는 사실을 잊었을 때 나오는 값이다. (C)는 2t²/3으로, 같은 실수에서 2배가 더 어긋난 값이다. (A)는 ((√(2)-1)³)/3인데, 자르는 깊이 t≈ 0.293이 들어가야 할 자리에 팔각형의 변 √(2)-1≈ 0.414를 넣은 값이다. 이 두 길이를 헷갈리지 않는 것이 단계 2와 3의 전부다. 마지막으로 답의 모양도 맞다. 7√(2)=9.899…이므로 10-7√(2)는 작은 양수이고, 근호의 부호를 잘못 잡아 (7√(2)-10)/3이라고 쓴 사람은 부피가 음수로 나와 곧바로 무언가 어긋났음을 알게 된다.

💡핵심 정리

'정'이라는 조건은 서로 다른 두 가지 일을 한다. 각이 같다는 조건이 모든 모서리 절단을 45°로 기울여 세 모서리를 똑같이 파고들게 만들고, 변이 같다는 조건이 그 깊이를 정확히 정해 주며, 그다음부터 부피는 작은 모서리 하나를 여덟 번 복사한 것일 뿐이다.

절단에 이름 붙이기, 아무것도 가정하지 않기
135도 각이 대칭인 절단을 강제한다
변의 길이가 같다는 조건이 깊이를 하나로 만든다
t를 구하고 실제로 되는지 확인하기
모서리 조각 하나는 t의 세제곱을 6으로 나눈 값
겹칠 수 없는 여덟 조각을 더하기