AMC 10 · 2007 · #21

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta

vieta-formulasquadratic-equationspolynomial-rootsfunction-evaluation vieta-formulaslogical-deductionguess-and-check ↑ 선수 지식: vieta-formulasquadratic-equations

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 이차함수에서 근의 합, 근의 곱, 계수의 합이 모두 같다. 그 공통값이 반드시 일치하는 설명을 고르라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\textrm{the\ coefficient\ of\ }x^{2}$

(B)

$\textrm{the\ coefficient\ of\ }x$

(C)

$\textrm{the\ y-intercept\ of\ the\ graph\ of\ }y=f(x)$

(D)

$\textrm{one\ of\ the\ x-intercepts\ of\ the\ graph\ of\ }y=f(x)$

(E)

$\textrm{the\ mean\ of\ the\ x-intercepts\ of\ the\ graph\ of\ }y=f(x)$

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

문제에 등장하는 모든 표현 — 근의 합, 근의 곱, 계수의 합, y절편, x절편 — 은 a, b, c에 대한 식으로 옮겨 쓰이기를 기다리는 문장이므로 Tool #13(대수로 바꾸기)이 이 문제의 뼈대다. Tool #4(변수 도입하기)로 근을 r, s라 이름 붙이면 근과 계수의 관계를 인용하는 대신 인수분해된 꼴에서 유도할 수 있고, 동시에 근이 복소수일 수 있다는 점도 드러난다. Tool #15(다르게 정리하기)는 실제로 결정타를 날리는 관점 전환을 제공한다: 계수의 합은 새로운 대상이 전혀 아니라 그냥 f(1)이다. Tool #3(가능성 지우기)이 필요한 이유는 "반드시"라는 조건이 맞는 설명 하나를 찾는 것 이상을 요구하기 때문이다 — 나머지 넷이 일반적으로 실패해야 하며, 여기서는 그 가장 강한 형태를 쓸 수 있다: 조건을 끝까지 풀어 자격을 갖춘 이차함수의 족 전체를 얻은 뒤, 다섯 설명을 그 족 전체에 대해 한꺼번에 검사하는 것이다. 마지막으로 Tool #6(추측하고 확인하기)으로 그 족의 구체적인 한 원소를 잡아 수치로 독립 확인한다.

1STEP 1

근은 언제나 두 개다

최고차 계수가 0이 아니라 근은 언제나 둘이다.

a ≠ 0 → f(x)=a(x-r)(x-s), r,sinC (중복도 포함)

2STEP 2

세 양을 식으로 쓰기

계수를 근으로 쓰면 세 양을 비교할 수 있다.

b=-a(r+s), c=ars → r+s=-b/a, rs=c/a, a+b+c=f(1)

3STEP 3

첫 번째 등식만 쓰기

첫 등식만으로 두 계수 사이의 관계가 나온다.

-b/a=c/a a ≠ 0{⟹} -b=c ⟺ b+c=0

4STEP 4

b와 c가 지워지는 것 보기

대입하면 그것들이 상쇄되고 최고차 계수만 남는다.

v=a+b+c=a+b+(-b)=a

5STEP 5

그런 이차함수가 존재하는지 확인하기

그런 이차함수가 실제로 존재하므로 주장이 공허하지 않다.

a=-b/a→ b=-a², c=a²; f(x)=a(x²-ax+a), v=a, a ≠ 0

6STEP 6

(B)와 (C) 지우기

다른 두 설명은 최고차 계수가 하나일 때만 맞는다.

b=-a²=a⇔ a=-1; f(0)=c=a²=a⇔ a=1

7STEP 7

(D)와 (E) 지우기

마지막 둘은 아예 맞지 않아 배제된다.

f(a)=a³-a³+a²=a² ≠ 0; (r+s)/2=a/2 ≠ a (a ≠ 0이므로)

8STEP 8

구체적인 이차함수 하나로 검사하기

구체적인 이차함수가 최고차 계수를 확인해 준다, 보기 (A).

a=4: f(x)=4x²-16x+16=4(x-2)²; 2+2=4, 2 · 2=4, 4-16+16=4; v=4=x²의 계수 → (A)

정답

x²의 계수

결론을 깰 뻔했던 두 원소를 검사해 보자. a=1일 때: f(x)=x²-x+1이고 근의 합 =1, 근의 곱 =1, 계수의 합 =1-1+1=1이므로 조건이 성립하고 v=1이다. 여기서는 y절편도 1이라 (C)가 우연히 맞지만, x²의 계수 역시 1이므로 (A)도 여전히 맞다. a=-1일 때: f(x)=-x²-x+1이므로 b=-1, c=1이고, 근의 합은 -b/a=--1/-1=-1, 근의 곱은 c/a=1/-1=-1, 계수의 합은 -1-1+1=-1이라 v=-1이다. 여기서는 x의 계수가 -1이라 (B)가 우연히 맞지만, x²의 계수도 -1이므로 (A) 역시 맞다. 이것이 논증이 예측한 그림이다: 오답 선택지들은 특정한 a 값에서 답과 우연히 겹칠 수 있지만, 모든 값에서 살아남는 것은 (A)뿐이다. 규모를 보는 점검도 통과한다 — v=a는 이차함수와 함께 배율이 바뀌는데, f에 상수 k를 곱하면 근은 그대로인 채 a와 계수의 합이 모두 k배가 된다는 사실과 맞아떨어진다. 근에만 의존하는 (D)나 (E) 같은 설명은 그 변화를 결코 따라갈 수 없다.

💡핵심 정리

계수의 합은 결국 f(1)이고, 근의 합을 근의 곱과 같게 만드는 것이 바로 (1-r)(1-s)의 가운데를 지우는 조작이어서 최고차항의 계수만 남는다.

근은 언제나 두 개다
세 양을 식으로 쓰기
첫 번째 등식만 쓰기
b와 c가 지워지는 것 보기
그런 이차함수가 존재하는지 확인하기
(B)와 (C) 지우기
(D)와 (E) 지우기
구체적인 이차함수 하나로 검사하기