AMC 10 · 2007 · #3
학년 6 algebra linear-equations-one-varparity convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
연속한 두 홀수에서 큰 쪽이 작은 쪽의 세 배다. 두 수의 합을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
4
(B)
8
(C)
12
(D)
16
(E)
20
풀이 과정
전략 변수 도입하기
작은 정수 하나가 나머지 전부를 결정하는 유일한 미지수이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 그것을 s라 이름 붙이고 큰 정수를 s+2로 쓴다(다음 홀수는 항상 2 크다). 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "큰 수는 작은 수의 세 배"라는 문장을 방정식으로 바꾸면, 추측하지 않고도 s가 정확히 정해진다.
1STEP 1
두 정수에 이름 붙이기
연속한 홀수는 2만큼 차이 난다.
작은 수=s, 큰 수=s+2
홀수는 2씩 건너뛰므로, s 바로 위 이웃은 s+2이다.
홀수는 2씩 나아가므로, 어떤 홀수 바로 위의 홀수는 그 수에 2를 더한 것이다.
▸ 왜?
홀수에 1을 더하면 짝수가 되므로, 다음 홀수에 닿으려면 1이 더 필요하다.
짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.
▸ 왜?
홀수는 매번 같은 간격으로 오르므로, 글자 하나와 간격 하나로 둘 다 나타낼 수 있다.
일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
2STEP 2
문장을 방정식으로 바꾸기
문장이 한 단계 방정식이 된다.
s+2=3s
"이다"는 양쪽이 같은 수를 가리킨다는 뜻이므로, 두 식을 같다고 놓는다.
6.EE.B.6Convert To Algebra3STEP 3
작은 정수 구하기
풀면 작은 쪽이 1이다.
2s=2 → s=1, s+2=3
두 수의 차이는 2이면서 동시에 작은 수의 두 배이므로, 작은 수는 1일 수밖에 없다.
6.EE.B.7Introduce A Variable4STEP 4
두 정수 더하기
더하면 4, 보기 (A).
1+3=4 → (A)
두 정수를 알고 나면, 합은 그냥 더하기이다.
6.EE.A.2Convert To Algebra정답
4
이 쌍을 모든 조건에 대해 확인해 보자: 1과 3은 홀수이고, 연속하는 두 홀수이며(2 차이), 큰 수 3은 정확히 작은 수 1의 세 배이다. 세 조건이 모두 성립하고, 합 4는 선택지 (A)이다. 또한 가장 작은 선택지인데 이는 자연스럽다: 세 배로 만들면 작은 수가 아주 작아야 하므로 합도 작게 유지된다. 작은 수를 예컨대 3으로 크게 잡으면 큰 수는 9가 되어야 하지만 9는 3보다 2 큰 수가 아니므로, 더 큰 쌍은 존재하지 않는다.
💡핵심 정리
작은 수를 s라 부르고 다음 홀수를 s+2로 쓴 뒤, 문장을 방정식으로 바꾸면 두 수가 저절로 나온다.
- 두 정수에 이름 붙이기
- 문장을 방정식으로 바꾸기
- 작은 정수 구하기
- 두 정수 더하기