AMC 10 · 2007 · #7
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이 문제를 실제로 지배하는 미지수는 두 개다: 수열이 어디에 놓여 있는가, 그리고 얼마나 빠르게 증가하는가. 도구 #4(변수 도입하기)로 두 번째 것을 공차 f라고 이름 붙인다. 어디를 기준으로 삼느냐가 중요하다 — a를 기준으로 삼으면 합이 5a+10f가 되어 두 미지수가 섞이지만, 가운데 항 c를 기준으로 삼으면 수열이 대칭이 되어 도구 #15(다르게 정리하기)로 합을 대칭인 쌍으로 묶을 수 있고 f가 상쇄된다. 이것으로 한 항이 정해진다. 그런데 문제가 묻는 것은 어느 항을 구할 수 있는가이고, 합이 5c로 줄어든다는 사실은 c가 확정된다는 것만 증명할 뿐 나머지 네 항에 대해서는 아무것도 증명하지 않는다. "f를 모르니 a는 구할 수 없다"는 말은 우리의 무지를 서술한 것이지 수학을 서술한 것이 아니다. 그래서 나머지 절반의 작업이 도구 #3(가능성 지우기)이다: 조건을 만족하는 수열의 완전한 족을 적어내고, 그중 a, b, d, e에서 서로 값이 다른 두 개를 실제로 제시한다. 값이 다르다는 것이 확정되지 않음의 증명이지, 구하지 못했다는 사실은 증명이 아니다.
수열을 가운데 항에 맞춰 세우기
가운데 항에 맞추면 다섯 항이 대칭으로 쓰인다.
중심에서 재면 목록이 대칭이 되어, 왼쪽과 오른쪽으로 간 걸음이 서로 상쇄되도록 준비된다.
6.EE.B.6Introduce A Variable다섯 항을 더하고 f가 사라지는 것 보기
더하면 공차가 상쇄된다.
중심에서 같은 거리에 있는 두 항은 같은 크기만큼 넘치고 모자라므로 그 차이가 상쇄되고 중심만 남는다.
가운데에서 같은 거리에 있는 두 항은 넘치고 모자란 양이 같으므로, 가운데만 살아남는다.
▸ 왜?
목록은 같은 간격으로 오르므로, 오른쪽으로 한 걸음 나간 것은 왼쪽으로 같은 걸음과 짝을 이룬다.
▸ 왜?
가운데를 중심으로 대칭으로 놓인 항은 언제나 같은 합, 곧 가운데의 두 배로 짝지어진다.
가운데 항 구하기
그래서 가운데 항이 6으로 강제된다.
합 전체가 정확히 가운데 항 다섯 개분이므로 5로 나누면 그대로 되돌아온다.
6.EE.B.7Introduce A Variable조건을 만족하는 수열 전부 적어내기
어떤 공차도 여전히 가능해 그런 수열은 무수히 많다.
조건은 수 하나를 고정하고 손잡이 하나를 자유롭게 남기므로, 손잡이를 돌려도 움직이지 않는 항만 확정된다.
6.EE.B.5Introduce A Variable두 수열로 나머지 결판내기
가능한 두 수열이 가운데에서만 일치하므로 답은 가운데 항, 보기 (C).
조건을 만족하면서 그 항의 값이 서로 다른 두 수열을 보이는 것이 그 항이 정말로 확정되지 않음을 증명한다.
4.OA.C.5Eliminate Possibilities등차수열의 다섯 항은 언제나 가운데 항의 다섯 배가 되므로 합이 가운데 항을 정해 준다 — 그리고 합이 같은 서로 다른 두 수열 6,6,6,6,6과 4,5,6,7,8이 나머지는 하나도 정해지지 않음을 보여 준다.
- 수열을 가운데 항에 맞춰 세우기
- 다섯 항을 더하고 f가 사라지는 것 보기
- 가운데 항 구하기
- 조건을 만족하는 수열 전부 적어내기
- 두 수열로 나머지 결판내기