AMC 10 · 2007 · #11
학년 8 geometry-2d angle-sum-polygonratio-proportionlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
사각형의 네 각이 배수의 사슬로 이어져 있다. 가장 큰 각을 가장 가까운 정수 도로 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
125
(B)
144
(C)
153
(D)
173
(E)
180
풀이 과정
전략 변수 도입하기
∠ A=2∠ B=3∠ C=4∠ D 사슬이 모든 각을 ∠ A에 묶으므로, ∠ A=x로 이름 붙이면(도구 #4) 네 각을 하나의 미지수로 나타낼 수 있다. 사각형 내각의 합이 360°라는 사실이 이 그림을 하나의 방정식으로 바꾼다(도구 #13). 방정식을 풀면 소수가 나오고, 반올림하여 다섯 선택지 중 하나에 맞춘다(도구 #3).
1STEP 1
∠ A를 이름 붙이고 나머지 각 나타내기
가장 큰 각에 이름을 붙이면 네 각이 문자 하나로 이어진다.
∠ A=x, ∠ B=x/2, ∠ C=x/3, ∠ D=x/4
하나의 등호 사슬이 모든 각을 하나의 미지수에 묶어 주므로, 사실 구할 수는 하나뿐이다.
7.EE.B.4Introduce A Variable2STEP 2
사각형 내각의 합 이용하기
내각의 합이 방정식 하나를 준다.
x+x/2+x/3+x/4=360
합이 360°로 고정되어 있어, 네 개의 미지 각이 풀 수 있는 하나의 방정식이 된다.
사각형의 네 각의 합은 한 바퀴이며, 그래서 네 미지수가 방정식 하나가 된다.
▸ 왜?
대각선이 사각형을 삼각형 둘로 자르며, 각 삼각형이 평각을 하나씩 보탠다.
삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.
▸ 왜?
평각 둘이 합쳐 한 점 둘레의 한 바퀴가 되며, 그것이 정해진 합이다.
한 점 둘레의 각은 360도한 점 둘레를 빙 둘러 나란히 놓인 각들은 한 바퀴, 곧 360도를 정확히 채운다.
3STEP 3
분수 합치기
분수를 합치면 계수 하나가 된다.
(12x+6x+4x+3x)/12=25x/12=360
공통분모를 쓰면 네 조각이 x에 대한 하나의 깔끔한 분수로 합쳐진다.
5.NF.A.1Introduce A Variable4STEP 4
풀고 반올림하기
풀고 반올림하면 173, 보기 (C).
x=4320/25=172.8≈ 173°
25/12 계수를 되돌리면 x가 분리되고, 0.8은 다음 정수로 올림된다.
5.NBT.A.4Eliminate Possibilities정답
173
x=172.8에서 나머지 각을 복원하면 ∠ B=86.4, ∠ C=57.6, ∠ D=43.2이다. 합은 172.8+86.4+57.6+43.2=360으로 정확히 맞아 유효한 사각형임을 확인한다. ∠ A는 평균이 90°인 네 각 중 가장 크므로 90°보다 훨씬 크되 360°보다는 작아야 한다. 173°가 이에 맞고, 더 작은 125, 144, 153을 넘어서면서 퇴화되는 180° 아래에 머문다.
💡핵심 정리
각들이 등호 사슬로 이어져 있으면 가장 큰 각에 이름을 붙이고 나머지를 그 각의 분수로 쓴 뒤, 고정된 360° 합이 풀도록 두면 된다.
- ∠ A를 이름 붙이고 나머지 각 나타내기
- 사각형 내각의 합 이용하기
- 분수 합치기
- 풀고 반올림하기