AMC 10 · 2007 · #12
학년 6 arithmetic weighted-averagepercentagemean-median-mode-range easier-related-problem ↑ 선수 지식: weighted-average
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
한 학급이 작은 무리와 큰 무리로 나뉘고 전체 평균이 알려져 있다. 작은 무리는 모두 같은 점수를 받았고 큰 무리의 평균이 주어져 있다. 작은 무리의 점수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
85
(B)
88
(C)
93
(D)
94
(E)
98
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기
실제 인원 없이 백분율만 있으면 추상적으로 느껴지므로, 학급을 다루기 편한 구체적인 인원으로 바꾼다(도구 #9). 학생을 10명으로 잡으면 10%와 90%가 깔끔하게 주니어 1명과 시니어 9명이 된다. 평균은 총합을 인원수로 나눈 것이므로, 각 평균을 총점으로 되돌린다(도구 #7). 학급 총점에서 시니어 총점을 빼면 그것이 바로 그 한 명의 주니어 점수이며, 거꾸로 풀어 구한다(도구 #11).
1STEP 1
다루기 편한 학급 인원 정하기
편한 인원을 잡으면 두 몫이 정수가 된다.
10% × 10 = 1명(주니어), 90% × 10 = 9명(시니어)
막연한 백분율을 실제 인원 10명으로 바꾸면 모든 양을 그냥 더할 수 있게 된다.
6.RP.A.3Solve An Easier Related Problem2STEP 2
평균을 총점으로 되돌리기
각 평균이 점수의 총합으로 되돌아간다.
학급 총점=84 × 10=840, 시니어 총점=83 × 9=747
각 평균을 원래의 총점으로 되돌리면 여러 무리의 점수를 보통 수처럼 더하고 뺄 수 있다.
각 평균을 다시 총점으로 되돌리면, 점수 무리를 보통 수처럼 더하고 뺄 수 있다.
▸ 왜?
평균은 총합을 개수로 나눈 것이므로, 다시 개수를 곱하면 총합이 돌아온다.
평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).
▸ 왜?
학급 총점은 구성원의 점수를 더한 것이므로, 한 무리를 덜어 내면 나머지가 남는다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
시니어를 덜어내 주니어 점수 찾기
큰 무리를 덜어 내면 93이 남는다, 보기 (A).
주니어 점수=840-747=93
학급 총점은 시니어 점수와 주니어 점수의 합이므로, 시니어를 빼면 주니어 점수만 남는다.
4.NBT.B.4Work Backwards정답
93
가중평균으로 확인한다: 93의 10%에 83의 90%를 더하면 0.1 × 93 + 0.9 × 83 = 9.3 + 74.7 = 84로 학급 평균과 정확히 같으므로 93은 모순이 없다. 또한 주니어 점수(93)가 학급 평균(84)보다 높고 시니어는 그 바로 아래(83)에 있는 것도 자연스럽다. 주니어는 학급의 10분의 1뿐이라 그 높은 점수가 학급 평균을 겨우 1점 올릴 뿐이며, 그래서 답이 84를 아주 조금 넘는 값이 아니라 훨씬 위에 있게 된다.
💡핵심 정리
백분율을 실제 인원으로 바꾸고, 각 평균을 총점으로 되돌린 뒤, 아는 무리를 빼내면 구하려는 값이 드러난다.
- 다루기 편한 학급 인원 정하기
- 평균을 총점으로 되돌리기
- 시니어를 덜어내 주니어 점수 찾기