AMC 10 · 2007 · #13

학년 7 probability
유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region
probability-basicgeometric-probabilityperiodic-function work-backwardscomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
신호등이 정해진 세 시간을 끝없이 반복한다. 누군가 무작위 순간부터 짧은 시간 동안 지켜본다. 지켜보는 동안 신호가 바뀔 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{63}$
(B)
$\frac{1}{21}$
(C)
$\frac{1}{10}$
(D)
$\frac{1}{7}$
(E)
$\frac{1}{3}$
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기

색 자체는 곁가지이고, 중요한 것은 색이 바뀌는 세 개의 순간뿐이다. 반복 패턴을 이용해(도구 #5) 모든 시간을 63초짜리 한 주기로 줄이고, 그 주기를 수직선으로 그리면(도구 #1) 변화 순간이 세 개의 점이 된다. 그다음 각 점에서 거꾸로 거슬러(도구 #11) 그 변화를 잡아내는 시작 시각들의 구간을 찾는다. 까다로운 부분은 이 구간들이 겹치는지인데, 이는 가장 짧은 구간에 대한 경계 문제이다(도구 #14). 마지막으로 아무 일도 못 보는 반대 사건을 세어(도구 #16) 독립적으로 검산한다.

1STEP 1

모든 시간을 한 주기로 줄이기

반복이 모든 시간을 한 주기로 줄인다.

30+3+30=63 (한 주기, 초), t∈[0,63)
2STEP 2

색이 바뀌는 세 순간 표시하기

그 안에 변화의 순간이 정확히 셋 있다.

변화 시각: t=30, t=33, t=63≡ 0
3STEP 3

변화에서 시작 시각으로 거슬러 가기

각각이 성공하는 시작 시각의 구간이 된다.

t ＜ c ＜ t+3 ⇔ c-3 ＜ t ＜ c
4STEP 4

세 구간이 겹치지 않음을 증명하기

세 구간이 겹치지 않아 길이가 그대로 더해진다.

|(27,30)∪(30,33)∪(60,63)|=3+3+3=9, 9/63=1/7
5STEP 5

조용한 시작을 세어 검산하기

조용한 시작을 세어도 1/7이 확인된다, 보기 (B).

1-(27+0+27)/63=1-54/63=9/63=1/7
정답
1/7
답은 0과 1 사이여야 하고, 가능한 시작 63초 중 9초만 유리하므로 작아야 한다. 1/7≈ 0.14는 여기에 맞는다. 세 번째 계산으로도 크기를 확인할 수 있다. 특정한 변화 하나를 잡을 확률은 3/63=1/21이고 한 주기에 변화가 세 번 있으므로, Leah가 보는 변화 횟수의 기댓값은 3×1/21=1/7이다. 어떤 두 변화 순간도 3초보다 가깝지 않으므로 한 구간에서 변화를 두 번 보는 일은 확률 0인 경계 시작 t=30을 빼면 일어나지 않는다. 그래서 이 기댓값은 적어도 한 번 볼 확률과 같고, 역시 1/7이다. 오답들은 흔한 실수와 맞아떨어진다. 1/21은 특정한 변화 하나만 세고 나머지 둘을 잊은 값이고, 1/63은 주기 중 단 1초만 기회라고 본 값이다.
💡핵심 정리

색 변화는 그 직전 3초 안에 보기 시작해야만 잡을 수 있으므로 변화 세 번이 3초짜리 창 세 개를 만들고, 이 창들이 아슬아슬하게 겹치지 않아 63초 중 9초가 남는다.

  • 모든 시간을 한 주기로 줄이기
  • 색이 바뀌는 세 순간 표시하기
  • 변화에서 시작 시각으로 거슬러 가기
  • 세 구간이 겹치지 않음을 증명하기
  • 조용한 시작을 세어 검산하기

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