AMC 10 · 2007 · #17

학년 11 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

logarithm-propertiessign-analysismean-median-mode-range convert-to-algebrasign-analysis ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesmean-median-mode-range

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

0이 아닌 정수와 양수 하나가 곱과 로그를 잇는 방정식을 만족한다. 제시된 다섯 수를 정렬했을 때 가운데에 오는 것을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

$\frac{1}{b}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

b가 1보다 큰지 작은지 하나만 알면 다섯 수의 자리가 전부 정해진다. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 그 출발점이다. b²으로 나누면 a와 log₁₀b의 부호가 같음이 드러나므로, a의 부호와 b가 1의 어느 쪽에 있는지는 같은 하나의 사실이 된다. 핵심이 되는 수는 도구 #4(변수 도입하기)다. t=log₁₀b로 두면 b=10^t, b²=100^t이 되어 b의 거듭제곱과 b의 로그가 벌이던 싸움이 하나의 지수로 통일되고, a=t/100^t라는 깔끔한 관계 하나만 남는다. 이 관계에서 어려움은 전부 b ＞ 1인 경우에 몰리는데, 그것을 죽이는 것이 도구 #14(극단의 원리)다. 양의 정수 중 가장 작은 것은 통째로 1이므로 t ≥ 100^t가 되고, 이 부등식을 견디는 실수는 없다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 그 확인을 100^k ≥ k+1이라는 정수에 대한 자명한 사실로 줄여 준다. 그다음 도구 #11(거꾸로 풀기)로 실제 쌍 (a,b)를 만들어 결론이 빈 가정 위에 서 있지 않음을 보이고, 도구 #15(다르게 정리하기)와 도구 #3(가능성 지우기)로 최종 순서를 조립하면서 다섯 선택지 중 둘은 애초에 어떤 경우에도 중앙값이 될 수 없음을 확인한다.

1STEP 1

b²으로 나누고 부호 읽기

정리하면 정수의 부호가 로그의 부호와 이어진다.

a=log₁₀b/b² ⟹ sign(a)=sign(log₁₀b); b=1→ a=0 (제외됨)

2STEP 2

수 대신 지수에 이름 붙이기

수 대신 지수에 이름을 붙이면 모든 것이 간단해진다.

t=log₁₀b, b=10^t, b²=100^t ⟹ a · 100^t=t ⟹ a=t/100^t

3STEP 3

양의 정수는 최소한 통째로 1

양의 정수는 1 이상이라 강한 부등식이 강제된다.

t ＞ 0 → a ＞ 0 → a ≥ 1 → t=a · 100^t ≥ 100^t

4STEP 4

t를 모든 정수 너머로 밀어 올리기

되풀이하면 지수가 모든 한계를 넘어서 그 갈래는 비어 있다.

t ≥ 100^t → t ＞ 1 → t ＞ 100 → t ＞ 100¹⁰⁰ → …; 엄밀하게는 모든 정수 k ≥ 0에 대해 t ≥ k — 불가능

5STEP 5

그러므로 0 ＜ b ＜ 1이고 순서가 정해진다

남은 갈래가 전체 순서를 정한다.

t ＜ 0 → a ＜ 0 그리고 0 ＜ b ＜ 1; b ＜ 1 → { ×1/b ＞ 0 } 1 ＜ 1/b; a ＜ 0 ＜ b ＜ 1 ＜ 1/b

6STEP 6

가정이 비어 있지 않음을 확인하기

구체적인 한 쌍이 가정이 공허하지 않음을 보인다.

b=10⁻ⁿ, a=-n · 100ⁿ: ab²=-n · 100ⁿ · 100⁻ⁿ=-n=log₁₀b (n=1,2,3,…)

7STEP 7

세 번째로 작은 수 읽어 내기

가운데를 읽으면 b, 보기 (D).

a ＜ 0 ＜ b ＜ 1 ＜ 1/b ⟹ 중앙값=b ⟹ (D)

정답

서로 독립인 여러 확인이 모두 일치한다. (1) 구체적인 쌍: b=1/10이면 log₁₀b=-1이고 a·1/100=-1이므로 a=-100이다. 집합은 {-100, 0, 0.1, 1, 10}이고 중앙값은 0.1=b다. (2) a를 먼저 고른 다른 모양의 쌍: a=-1이면 -b²=log₁₀b의 해는 b≈ 0.52725이고 1/b≈ 1.89665이므로 정렬된 집합은 {-1, 0, 0.52725, 1, 1.89665}다. 생김새가 전혀 다른 b인데도 중앙값은 또다시 b다. (3) 정수 조건 논증이 실제로 가진 여유: b ＞ 1에서 log₁₀b/b²가 가질 수 있는 최댓값은 b=√(e)에서의 1/(2eln 10)≈ 0.0799다. 즉 실수 a는 양수가 될 수 있지만 기껏해야 0.08 언저리까지이고, 가장 작은 양의 정수는 도달 가능한 범위 전체를 열두 배 넘게 뛰어넘는다. 이 논증은 아슬아슬하게 성립하는 것이 아니다. (4)이 문제가 무엇에 걸려 있는지는 오답 선택지를 통해 드러난다. "정수"라는 말을 빼고 b=10, a=1/100을 잡으면 ab²=1=log₁₀₁₀이 성립하고, 집합은 {0, 1/100, 1/10, 1, 10}이며 중앙값은 1/10=1/b, 바로 선택지 (E)다. 따라서 (E)는 아무렇게나 놓인 오답이 아니라 정수 조건을 지운 문제의 정확한 답이다. "이차식이 로그를 앞지른다"는 식의 설명만으로는 부족한 이유도 여기 있다. a가 작은 양수일 때 y=ax²과 y=log₁₀x는 실제로 만나기 때문이다. 같은 방식으로 (B)는 버려진 다른 경우에서 나오는 답이다. 만약 a가 양의 정수일 수 있었다면 a ≥ 1이고 b ＞ 1이므로 순서는 0 ＜ 1/b ＜ 1 ≤ a가 되어 중앙값이 1이 된다. 그리고 "0이 아닌"이라는 말은 b=1을 제거하는 역할로, "정수"가 하는 일과는 다른 일이다. 두 조건이 각각 정확히 한 번씩 쓰였고 어느 쪽도 장식이 아니다.

💡핵심 정리

b=10^t로 쓰면 식은 a=t/100^t가 되는데 이 값은 결코 1에 닿지 못한다. 가장 작은 양의 정수가 1이므로 a는 음수일 수밖에 없고, 그러면 b는 0과 1 사이에 놓여 줄의 한가운데를 차지한다.

b²으로 나누고 부호 읽기
수 대신 지수에 이름 붙이기
양의 정수는 최소한 통째로 1
t를 모든 정수 너머로 밀어 올리기
그러므로 0 ＜ b ＜ 1이고 순서가 정해진다
가정이 비어 있지 않음을 확인하기
세 번째로 작은 수 읽어 내기