AMC 10 · 2007 · #18
학년 9 number-theoryalgebra답을 골라 클릭하세요.
문제는 두 제곱수가 무엇인지 끝까지 말해 주지 않으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이름을 붙인다: 작은 쪽 밑을 k라 하자. 구간이 k²부터 (k+1)²까지가 되면 그 길이는 2k+1이라는 하나의 값으로 줄어든다. 진짜 열쇠는 표시된 두 수 사이의 거리를 전혀 다른 두 방식으로 잴 수 있다는 점이다 — 하나는 제곱수 사이 간격의 1/3로, 다른 하나는 자릿값에서 곧바로 나오는 9(c-b)로. 그래서 도구 #13(대수로 바꾸기)이 이 문장제를 2k+1=27(c-b)이라는 하나의 식으로 바꿔 준다. 이 식에는 미지수가 둘이므로, 도구 #3(가능성 지우기)이 서로 독립인 두 가지 조임으로 마무리한다: "세 자리 수"에서 오는 크기 조건과 "2k+1은 홀수"에서 오는 홀짝 조건이다. 여기까지는 k가 무엇이어야 하는지만 증명한다. 마지막 단계에서 실제 수를 만들어 자리 바꿈 조건이 정말 성립하는지 확인해야, 답이 강제될 뿐 아니라 실제로 존재한다는 것까지 보장된다. 검토에서는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 독립적인 교차 확인을 한다. 후보가 되는 k가 여덟 개뿐이기 때문이다.
작은 쪽 밑에 이름 붙이고 간격 재기
연속한 제곱수 사이의 간격은 홀수다.
연속한 두 제곱수의 차는 언제나 홀수 2k+1이므로, 구간 전체가 하나의 값으로 줄어든다.
이웃한 두 제곱수의 차는 언제나 홀수이므로, 그 구간 전체가 하나의 양으로 접힌다.
▸ 왜?
두 제곱의 차는 두 수의 합에 두 수의 차를 곱한 것이다.
▸ 왜?
이웃한 수의 차는 1이므로 간격은 그 합이 되고, 그 합은 언제나 홀수다.
간격을 정수인 세 조각으로 자르기
그것을 정수인 삼등분으로 자르는 것 자체가 제약이다.
간격이 3의 배수일 때만 똑같은 세 조각이 생기고, 표시된 두 점은 정확히 한 조각만큼 떨어진다.
4.OA.B.4Introduce A Variable같은 차를 자릿수에서 다시 읽기
자릿수가 같은 차를 두 번째 방식으로 준다.
십의 자리와 일의 자리를 맞바꾸면 수는 두 숫자 차의 정확히 9배만큼 변하므로, 같은 간격을 잡는 두 번째 손잡이가 생긴다.
5.NBT.A.1Convert To Algebra숫자 차를 1까지 조이기
크기와 홀짝이 자릿수 차를 1로 조인다.
하나는 세 자리 수가 얼마나 클 수 있는지에서, 다른 하나는 홀수인지 짝수인지에서 오는 조건이고, 둘을 모두 통과하는 값은 하나뿐이다.
9.A-CED.A.1Eliminate Possibilities수를 만들어 자리 바꿈 확인하기
수를 만들면 자리 바꿈이 확인되어 합은 16, 보기 (C).
대수는 어떤 후보를 시험할지 알려 줄 뿐이고, 자리 바꿈 조건이 정말 성립하는지는 실제 수를 만들어 봐야 증명된다.
6.EE.B.5Convert To Algebra같은 차를 제곱수 쪽에서 한 번, 자릿수 쪽에서 한 번 재서 후보를 하나로 좁힌 다음, 실제로 수를 만들어 그동안 가정해 온 조건을 확인하자.
- 작은 쪽 밑에 이름 붙이고 간격 재기
- 간격을 정수인 세 조각으로 자르기
- 같은 차를 자릿수에서 다시 읽기
- 숫자 차를 1까지 조이기
- 수를 만들어 자리 바꿈 확인하기