AMC 10 · 2007 · #2
학년 6 rate-ratio rateunit-conversiondimensional-analysis dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: rate
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
같은 거리를 서로 다른 두 연비로 가고 돌아온다. 왕복 전체의 평균 연비를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
22
(B)
24
(C)
25
(D)
26
(E)
28
풀이 과정
전략 단위 살펴보기
마일 퍼 갤런은 마일을 갤런으로 나눈 비율이므로, 도구 #8(단위 살펴보기)을 쓰면 전체 연비가 30과 20의 평균이 아니라 전체 마일을 전체 갤런으로 나눈 값이어야 함을 알 수 있다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 각 구간이 사용하는 연료를 먼저 구한 뒤 합치도록 작업을 나눈다. 도구 #3(가능성 지우기)은 함정 보기를 짚어낸다. 두 연비를 단순 평균하면 (30+20)/2=25, 즉 보기 (C)가 나오지만 이는 틀린 답이다.
1STEP 1
집으로 가는 길에 쓴 연료
가는 구간은 4를 쓴다.
(120 mi)/(30 mi/gal) = 4 gal
마일을 연비로 나누면 마일이 약분되고 갤런만 남는다.
6.RP.A.3Analyze The Units2STEP 2
돌아오는 길에 쓴 연료
돌아오는 구간은 첫 구간보다 많은 6을 쓴다.
(120 mi)/(20 mi/gal) = 6 gal
연비가 나쁘면 같은 거리라도 더 많은 갤런을 소모한다.
6.RP.A.3Analyze The Units3STEP 3
전체 마일과 전체 갤런
거리와 연료 모두 그대로 더해진다.
240 mi total, 4+6=10 gal total
전체 여정은 두 구간을 마일에서도 갤런에서도 이어 붙인 것일 뿐이다.
4.OA.A.3Identify Subproblems4STEP 4
왕복의 평균 연비
나누면 24로 단순 중간값보다 낮다, 보기 (B).
(240 mi)/(10 gal) = 24 mi/gal → (B)
전체 연비는 모든 마일을 모든 갤런에 나눠 붙인 것이고, 연료를 더 먹는 구간이 더 큰 비중을 차지한다.
전체 연비는 모든 거리를 모든 연료로 나눈 것이므로, 기름을 더 먹은 구간이 더 무겁게 작용한다.
▸ 왜?
평균은 총합을 개수로 나눈 것이지, 두 비율을 그냥 평균 낸 것이 아니다.
평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).
▸ 왜?
연비는 1갤런에 몇 마일이 들어가는지를 말하므로, 거리를 그 연비로 나누면 쓴 연료가 나온다.
일정한 속력: 거리 = 속력 × 시간일정한 속력에서 거리는 속력×시간이므로, 속력은 단위시간당 거리(속력=거리÷시간)다.
정답
24
답 24는 두 연비 20과 30 사이에 있어야 하며 실제로 그러하다. 또한 단순 중간값 25보다 아래에 있다. 이는 정확히 맞는데, 연비가 낮은 돌아오는 구간이 더 많은 연료(4 대신 6 갤런)를 써서 더 큰 비중을 차지하고 평균을 20 쪽으로 끌어당기기 때문이다. 총합을 다시 확인하면 4 gal+6 gal=10 gal로 차가 240 마일을 이동했고, 240/10=24이다.
💡핵심 정리
평균 연비는 두 속도의 평균이 아니라 모든 마일을 모든 갤런으로 나눈 값이다. 그래서 연료를 많이 먹는 구간이 평균을 끌어내린다.
- 집으로 가는 길에 쓴 연료
- 돌아오는 길에 쓴 연료
- 전체 마일과 전체 갤런
- 왕복의 평균 연비