AMC 10 · 2007 · #21
학년 7 countingnumber-theory답을 골라 클릭하세요.
상한 2007은 10 진법으로 쓰여 있어서 3 진법 자릿수에 대해 아무것도 알려주지 않는다. 그래서 Tool #15 (다르게 정리하기)가 말한다: 상한부터 3 진법으로 다시 써라. 그러면 7 자리가 되고, 이것이 문제를 둘로 쪼갠다 (Tool #7, 작은 문제로 쪼개기). 6 자리 이하의 문자열은 모두 상한보다 한참 아래라서 확인이 전혀 필요 없고 세기만 하면 된다. 게다가 회문은 앞쪽 절반으로 완전히 결정되므로 Tool #2 (빠짐없이 나열하기)로 각 길이를 곱셈 한 번에 셀 수 있다. 상한이 실제로 걸리는 것은 7 자리 문자열뿐인데, 그 개수는 54 개이고 그중 너무 큰 것이 살아남는 것보다 훨씬 적으므로, Tool #16 (관점 바꾸기)으로 버릴 것을 대신 센다. 두 개의 7 자리 문자열을 한 자리씩 비교하는 단계는 그냥 주장할 것이 아니라 증명해야 하는 단 하나의 지점인데, Tool #14 (극단의 원리)가 그것을 준다: 아래 자리를 아무리 크게 채워도 윗자리에서 한 단위 진 것을 만회할 수 없다.
상한을 3진법으로 다시 쓰기
상한을 같은 진법으로 쓰면 어디서 걸리는지 보인다.
다른 밑으로 쓰인 수와는 자릿수를 비교할 수 없으니, 상한부터 같은 언어로 옮겨 놓는다.
6.EE.A.1Organize Information In More Ways일곱 자리에서 자르기
짧은 자릿수는 범위 안에 완전히 들어간다.
안전한 덩어리와 상한에 닿는 덩어리를 나누면 조심할 곳이 한 군데뿐이 된다.
4.NBT.A.2Identify Subproblems앞쪽 절반으로 회문 세기
앞쪽 절반으로 세면 거기서 52개다.
회문의 뒤쪽 절반은 정보가 아니므로, 앞쪽 절반을 세면 회문을 정확히 한 번씩 센 것이 된다.
7.SP.C.8Make A Systematic List자리별 비교가 왜 정당한가
꼬리 전체가 넘칠 수 없어 자리별 비교가 정당하다.
한 자리에서의 한 단위가 그 아래 모든 자리를 꽉 채운 것보다 크므로, 처음 달라지는 자리가 승부를 완전히 결정한다.
어떤 자리의 1은 그 아래 자리를 가득 채운 것보다 크므로, 처음으로 달라지는 자리가 비교를 끝낸다.
▸ 왜?
각 자리는 아래 자리의 밑 배만큼의 값이므로, 그 아래 전부를 압도한다.
▸ 왜?
어떤 수가 그 자리에서 앞서면, 그 아래 무엇으로도 비교를 뒤집을 수 없다.
너무 큰 일곱 자리 회문 버리기
너무 큰 긴 것들을 잘라 내면 48이 남는다.
54 개 중 넘치는 것은 여섯 개뿐이니, 마흔여덟 개를 다시 만들어 내는 것보다 여섯 개를 지목하는 편이 훨씬 빠르고 안전하다.
7.SP.C.8Change Focus Count The Complement두 덩어리 더하기
더하면 100, 보기 (A).
자릿수로 분류하면 덩어리들이 겹치지도 비지도 않으므로 개수를 그냥 더하면 된다.
4.OA.A.3Identify Subproblems회문은 앞쪽 절반을 두 번 쓴 것일 뿐이니 앞쪽 절반을 세면 된다 — 그리고 상한이 가장 긴 덩어리를 가로지를 때는, 들어맞는 많은 것보다 넘치는 몇 개를 세는 편이 대개 더 빠르다.
- 상한을 3진법으로 다시 쓰기
- 일곱 자리에서 자르기
- 앞쪽 절반으로 회문 세기
- 자리별 비교가 왜 정당한가
- 너무 큰 일곱 자리 회문 버리기
- 두 덩어리 더하기