AMC 10 · 2007 · #23

학년 9 number-theorygeometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

pythagorean-theoremsimons-favorite-factoring-trickdivisor-count convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

직각삼각형의 두 변이 정수이고 넓이가 둘레의 세 배와 같다. 그런 삼각형이 몇 개인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

핵심 작업은 Tool #13(대수로 바꾸기)이 한다. '넓이가 둘레의 3배'라는 문장이 1/2ab = 3(a+b+√(a²+b²))이 되고, 그 뒤는 모두 이 한 식에 대한 정리 작업이다. Tool #4(변수 도입하기)는 합 S=a+b와 곱 P=ab에 이름을 붙여 제곱 전개를 짧게 만든다. Tool #15(다르게 정리하기)는 결과를 (a-12)(b-12)=72라는 하나의 곱으로 바꾸어, 방정식 문제를 인수분해 문제로 바꾼다. 개수를 실제로 결정하는 것은 Tool #3(가능성 지우기)이다. 근호를 없애려면 제곱해야 하는데, 제곱은 c와 -c를 구별하지 못하고, 72의 인수분해 중 하나는 대수적으로는 살아남지만 빗변이 음수인 삼각형을 가리킨다. Tool #11(거꾸로 풀기)은 살아남은 인수분해 각각으로부터 진짜 삼각형을 다시 만들어, 답이 필요조건뿐 아니라 충분조건 위에도 놓이게 한다. Tool #2(빠짐없이 나열하기)는 72의 약수를 짝지어 마무리한다.

1STEP 1

조건을 하나의 식으로 쓰기

조건이 근호가 든 방정식 하나가 된다.

1/2ab = 3(a+b+c), c=√(a²+b²) ⟹ ab = 6(a+b+√(a²+b²))

2STEP 2

근호를 고립시키고 그 대가를 적어 두기

근호를 고립시키면 나중에 쓸 양수 관문이 적힌다.

c = ab/6-(a+b) ＞ 0 (관문: ab ＞ 6(a+b) )

3STEP 3

피타고라스 정리를 쓰며 제곱하기

피타고라스 정리를 쓰며 제곱하면 일차 관계가 나온다.

(P/6-S)²=S²-2P ⟹ P²/36-PS/3+2P=0 → P/36-S/3+2=0 ⟹ P=12S-72

4STEP 4

방정식을 하나의 곱으로 바꾸기

정리하면 두 괄호의 곱이 된다.

ab-12a-12b+72=0 ⟹ ab-12a-12b+144=72 ⟹ (a-12)(b-12)=72

5STEP 5

음수 갈래에 관문을 쓰기

관문이 음수 갈래 전체를 없앤다.

ab ＞ 6(a+b)이고 ab=12(a+b)-72 ⟹ a+b ＞ 12. (12-a)(12-b)=72, 12-a ≤ 11, 12-b ≤ 11 ⟹ {a,b}={3,4}, a+b=7 ≯ 12

6STEP 6

살아남은 쌍이 진짜 삼각형인지 확인하기

남은 것들은 조건을 만족하는 진짜 직각삼각형이다.

c=a+b-12 ＞ 0, c²=a²+b²+2[ab-12(a+b)+72]=a²+b²; ab/2=6(a+b)-36=3[2(a+b)-12]=3·둘레

7STEP 7

72의 약수를 짝짓기

약수를 짝지으면 여섯 쌍이 나온다.

72=2³ · 3², (3+1)(2+1)=12 개의 약수; (a,b,c)=(13,84,85), (14,48,50), (15,36,39), (16,30,34), (18,24,30), (20,21,29)

8STEP 8

순서쌍이 아니라 삼각형을 세기

순서쌍이 아니라 삼각형을 세면 6, 보기 (A).

{13,84}, {14,48}, {15,36}, {16,30}, {18,24}, {20,21} ⟹ 6 ⟹ (A)

정답

여섯 개를 모두 직접 확인할 수 있고, 그것이 가장 강한 검증이다. 가장 작은 것은 20-21-29로 넓이가 (20 · 21)/2=210, 둘레가 70이며 3 · 70=210이다. 가장 큰 것은 13-84-85로 넓이가 546, 둘레가 182이며 3 · 182=546이다. 나머지 넷인 14-48-50(넓이 336, 둘레 112), 15-36-39(넓이 270, 둘레 90), 16-30-34(넓이 240, 둘레 80), 18-24-30(넓이 216, 둘레 72)도 모두 같은 검사를 통과한다. 또한 이 목록은 그저 길기만 한 것이 아니라 완전함이 증명된다. (a-12)(b-12)=72에서 두 인수가 양수이면 각 인수는 72 이하이므로 두 직각변은 13 이상 84 이하에 갇히고, 더 찾을 곳이 없다. 오답 선택지는 구체적인 실수와 대응한다. (E) 12는 순서를 구별한 인수쌍의 개수로, '서로 합동이 아닌'이라는 말을 무시했을 때 나오는 값이다. (B) 7은 여섯 개에 3-4-5 유령을 더한 값으로, 72를 정수 전체에서 인수분해하면서 음수 인수쌍이 빗변에 음의 부호를 붙인다는 것을 눈치채지 못했을 때 나온다. 그 함정에 선택지 하나가 배정되어 있다는 사실 자체가, 이 문제의 진짜 내용이 인수분해가 아니라 부호 확인임을 말해 준다.

💡핵심 정리

넓이가 둘레의 3배라는 말은 내접원의 반지름이 6이라는 말과 같고, 그러면 문제는 빗변이 음수로 나오는 쌍 하나를 버린 뒤 72의 약수 쌍을 세는 일이 된다.

조건을 하나의 식으로 쓰기
근호를 고립시키고 그 대가를 적어 두기
피타고라스 정리를 쓰며 제곱하기
방정식을 하나의 곱으로 바꾸기
음수 갈래에 관문을 쓰기
살아남은 쌍이 진짜 삼각형인지 확인하기
72의 약수를 짝짓기
순서쌍이 아니라 삼각형을 세기