AMC 10 · 2007 · #9

학년 9 algebra
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps
function-evaluationfunction-compositionlinear-equations-one-var work-backwards ↑ 선수 지식: function-evaluationlinear-equations-one-var
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 규칙이 변형된 입력에 무엇을 하는지로만 설명되어 있다. 특정한 값에 대해 무엇을 내놓는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
7
(B)
13
(C)
31
(D)
111
(E)
211
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기

규칙은 입력 3x-1에서 주어졌는데, 질문은 입력 5에서의 값을 묻는다. 그러니 아무 x나 골라 앞으로 밀고 나가지 말고, 목표 입력에서 거꾸로 거슬러 올라가(도구 #11) '어떤 x가 들어가는 수를 5로 만드는가'를 물어야 한다. 이는 한 줄짜리 일차방정식이고, 이 문제 전체가 기대는 사실은 그 해가 정확히 하나라는 점이다. 3x-1의 기울기가 3 ≠ 0이므로 서로 다른 x는 서로 다른 입력으로 가고, 따라서 f(5)는 애매함 없이 결정된다. 값을 구조가 다른 경로로 확인하기 위해, 입력에 새 이름을 붙여(도구 #4) t=3x-1이라 두고 규칙 전체를 t에 대한 식으로 다시 쓴다(도구 #15). 이 식은 대입 경로가 조용히 가정하고 넘어간 것 — 그런 성질을 가진 함수가 실제로 존재하는가 — 까지 해결해 준다.

1STEP 1

f에 실제로 무엇이 들어가는지 보기

그 문자는 입력이 아니라, 대입하면 다른 질문에 답하게 된다.

x=5: f(3 · 5-1)=f(14)=5²+5+1=31 (이것은 f(14), f(5)가 아니다)
2STEP 2

거꾸로 올라가 알맞은 x 찾기

거꾸로 구하면 입력을 맞게 만드는 문자가 나온다.

3x-1=5 ⟺ 3x=6 ⟺ x=2
3STEP 3

x=2에서 우변 계산하기

거기서 계산하면 7이다.

f(5)=f(3 · 2-1)=2²+2+1=7
4STEP 4

f 자체를 만들어 확인하기

규칙 자체를 만들어 봐도 7이 확인된다, 보기 (A).

f(t)=(t²+5t+13)/9, f(5)=(25+25+13)/9=63/9=7
정답
7
쓰지 않은 값에서 만들어 낸 식을 검사해 보자. x=1을 넣으면 원래 등식은 f(2)=1+1+1=3이라 말하고, 식은 (2²+5 · 2+13)/9=27/9=3을 준다. 일치한다. 네 개의 오답은 모두 같은 실수가 옷만 바꿔 입은 것으로, 각각 대응하는 입력이 5가 아닌 어떤 x에서의 x²+x+1 값이다: 13은 x=3에서 나오는 f(8), 31은 x=5에서 나오는 f(14), 111은 x=10에서 나오는 f(29), 211은 x=14에서 나오는 f(41)이다. 특히 31은 5를 입력 자리가 아니라 x 자리에 대입한 사람을 위한 함정이다. 참값이 선택지 중 가장 작다는 것도 자연스럽다. 입력 5를 맞추면 x는 2까지 끌려 내려오고, x가 작을 때 x²+x+1은 작기 때문이다.
💡핵심 정리

규칙이 f(어떤 식) 꼴로 주어지면, 먼저 괄호 안에 어떤 수가 들어 있는지 묻고, 그 자리에 목표 수가 놓이게 하는 x를 거꾸로 찾아라.

  • f에 실제로 무엇이 들어가는지 보기
  • 거꾸로 올라가 알맞은 x 찾기
  • x=2에서 우변 계산하기
  • f 자체를 만들어 확인하기

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