AMC 10 · 2008 · #12

학년 9 algebra
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
domain-restrictionfunction-compositioninterval-arithmetic identify-subproblemswork-backwards ↑ 선수 지식: function-composition
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 함수의 입력 집합과 출력 집합이 알려져 있다. 새 함수는 입력을 밀고 그 결과를 1에서 뺀다. 새 함수의 입력과 출력 집합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
[-1,1],[-1,0]
(B)
[-1,1],[0,1]
(C)
[0,2],[-1,0]
(D)
[1,3],[-1,0]
(E)
[1,3],[0,1]
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

이 규칙은 서로 간섭하지 않는 두 곳에서 f 를 바꾼다. f 가 보기 전에 입력이 +1 만큼 밀리고, f 가 값을 내놓은 뒤에 그 값이 '1 빼기' 를 통과한다. 밀기만으로 정의역이 정해지고, 바깥 단계만으로 치역이 정해지므로, 질문을 둘로 쪼개어 따로 답한다. 각 절반마다 변환을 앞으로도 뒤로도 돌려 본다. 앞으로만 따라가면 값이 어디에 떨어지는지, 즉 포함 관계만 알 수 있다. 거꾸로 돌려야 후보가 모두 실제로 도달됨을 보일 수 있고, 그래야 두 구간이 '충분히 큰 집합' 이 아니라 '정확한 집합' 이 된다. 마지막으로 얻은 짝을 다섯 보기와 맞춰 본다.

1STEP 1

두 개의 질문으로 쪼개기

입력과 출력은 두 개의 질문이다.

g(x) = 1 - f(x+1)_decides the domain and g(x) = 1 - t_decides the range, t = f(x+1)
2STEP 2

밀기를 거꾸로 돌려 정의역 구하기

밀기를 거꾸로 돌리면 입력 집합이 반대로 미끄러진다.

0 ≤ x+1 ≤ 2 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1
3STEP 3

밀기가 f 의 값을 하나도 잃지 않음을 확인하기

밀기는 원래 출력을 하나도 잃지 않는다.

u = x+1, x ∈ [-1,1] ⇔ u ∈ [0,2], {f(x+1) : x ∈ [-1,1]} = {f(u) : u ∈ [0,2]} = [0,1]
4STEP 4

그 값들을 1 빼기에 통과시키기, 양쪽 방향으로

1에서 빼면 그 집합이 양방향으로 자기 자신에 대응된다.

0 ≤ t ≤ 1 ⇔ -1 ≤ -t ≤ 0 ⇔ 0 ≤ 1-t ≤ 1; y ∈ [0,1] → t = 1-y ∈ [0,1] → g(x) = y for some x
5STEP 5

얻은 짝을 보기와 맞추기

따라서 짝은 밀린 입력과 같은 출력이다, 보기 (A).

domain [-1,1], range [0,1]
정답
[-1,1],[0,1]
f 에 대해 정의역과 치역 말고는 아무것도 쓰지 않았으므로, 그 두 성질을 가진 어떤 구체적인 함수를 넣어도 같은 답이 나와야 한다. [0,2] 위에서 f(x) = x/2로 시험해 보자. 이 함수의 값은 [0,1]을 훑는다. 그러면 g(x) = 1 - (x+1)/2이고 -1 ≤ x ≤ 1이 필요하며, g(-1) = 1 에서 g(1) = 0까지 내려가며 [0,1]을 덮는다. 단조가 아닌 함수로도 시험해 보자. [0,2] 위의 f(x) = |x-1| 역시 치역이 [0,1]이고, [-1,1] 위의 g(x) = 1 - |x| 역시 치역이 [0,1]이다. 두 예 모두 짝 [-1,1]과 [0,1]을 주어 (B)와 일치한다. 치역이 왜 그대로 돌아왔는지도 짚어 두는 편이 좋다. 우연을 규칙으로 착각하지 않기 위해서이다. 구간 [0,1]은 1/2에 대해 대칭이고 t ↦ 1-t 는 1/2를 기준으로 뒤집는 대응이므로, 하필 이 구간이 자기 자신으로 옮겨진 것이다. 만약 f 의 치역이 [0,3] 이었다면 같은 단계를 거쳐 [-2,1]이 나왔을 것이다.
💡핵심 정리

함수에 들어가는 것을 바꾸면 정의역이 반대쪽으로 움직이고, 나오는 것을 바꾸면 치역이 모양을 바꾼다. 그리고 치역은 그 안의 모든 수가 실제로 나온다는 것을 보여야 비로소 확정된다.

  • 두 개의 질문으로 쪼개기
  • 밀기를 거꾸로 돌려 정의역 구하기
  • 밀기가 f 의 값을 하나도 잃지 않음을 확인하기
  • 그 값들을 1 빼기에 통과시키기, 양쪽 방향으로
  • 얻은 짝을 보기와 맞추기

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