AMC 10 · 2008 · #15

학년 6 number-theory

유형 Units-Digit Tracking └ 세부 유형 Power Cycle Lookup

units-digit-trackingmodular-arithmetic-mod-10pattern-recognition pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: units-digit-tracking

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 수가 큰 제곱수와 2의 큰 거듭제곱의 합이다. 그 수의 제곱과 2를 그만큼 거듭제곱한 것의 합의 마지막 숫자를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 패턴 찾기

수가 너무 커서 계산할 수 없지만, 일의 자리 숫자는 오직 각 수의 일의 자리 숫자에만 달려 있으므로 실제 문제는 보기보다 훨씬 작다. 밑이 정해진 거듭제곱의 마지막 숫자는 짧은 주기로 반복되므로, 이 반복 패턴을 찾아 이용하는 것이 핵심 열쇠이다. 작업을 조각으로 나눈다: 먼저 k 의 마지막 숫자, 다음 k²의 마지막 숫자, 그다음 2^k 의 마지막 숫자, 마지막으로 더한다.

1STEP 1

마지막 숫자만 중요하다

합과 곱에는 마지막 숫자만 중요하다.

units(a+b) and units(a × b) depend only on units(a), units(b)

2STEP 2

2의 거듭제곱의 마지막 숫자

2의 거듭제곱은 주기 4로 반복된다.

2¹,2²,2³,2⁴,2⁵,… → 2,4,8,6,2,… (cycle length 4)

3STEP 3

k 의 마지막 숫자 찾기

그 수 자체는 0으로 끝난다.

2008² → 8²=64 → 4; 2²⁰⁰⁸ (2008=4 · 502) → 6; 4+6=10 → 0

4STEP 4

k 제곱의 마지막 숫자

그래서 제곱도 0으로 끝난다.

k ≡ 0 (mod 10) → k² ends in 0

5STEP 5

2의 k제곱의 마지막 숫자

지수를 4로 나눈 나머지가 다른 쪽 마지막 숫자를 6으로 준다.

2008²≡ 0, 2²⁰⁰⁸≡ 0 (mod 4) → k≡ 0 (mod 4) → 2^k ends in 6

6STEP 6

두 마지막 숫자를 더하기

더하면 6, 보기 (D).

0 + 6 = 6

정답

모든 단계가 한 자리 숫자 안에서 진행되었고, 두 독립된 조각이 예상대로 움직였다. 0으로 끝나는 수는 제곱하면 0으로 끝나고, 지수가 4의 배수인 2의 거듭제곱은 6으로 끝난다. 그 합 0 + 6 = 6은 받아올림이 없으므로 마지막 숫자는 깔끔하게 6이고, 이는 (D)와 일치한다. 확인차: 2^k 의 마지막 숫자는 반드시 2, 4, 8, 6 중 하나여야 하고, 여기에 0을 더하면 결코 홀수 숫자가 나올 수 없으므로, 6 같은 짝수 답이 바로 올바른 형태이다.

💡핵심 정리

거대한 거듭제곱의 마지막 숫자를 구하려면, 반복될 때까지 마지막 숫자를 나열한 다음, 그 짧은 주기에서 내 지수의 자리로 건너뛰어라.

마지막 숫자만 중요하다
2의 거듭제곱의 마지막 숫자
k 의 마지막 숫자 찾기
k 제곱의 마지막 숫자
2의 k제곱의 마지막 숫자
두 마지막 숫자를 더하기